Funktionsgrenzwerte

11.05.2011, 13:40

evilbiddy

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Funktionsgrenzwerte

Meine Frage:
Berechnen Sie den folgenden Grenzwert ohne l´Hospital zu verwenden.

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{3x+2} }{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{\sin(2x) } + \frac{\sin(x) }{2x} \right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich steh hier leider für mich vor einem unlösbarem Problem unglücklich

unglücklich

Es wäre nett, wenn mir jemand einen geeigneten Denkanstoß geben könnte, womit ich es dann doch mehr oder weniger selber hinbekommen könnte.

11.05.2011, 13:46

René Gruber

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a) 3.Binomische Formel anwenden, d.h. erweitern mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+1}+\sqrt{3x+2}) \end{eqnarray*}$ . (EDIT: Ach, es geht auch ohne... einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ im Zähler ausklammern.)

b) Den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \end{eqnarray*}$ darfst du doch aber als bekannt voraussetzen, oder?

11.05.2011, 14:05

evilbiddy

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Zitat:

b) Den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \end{eqnarray*}$ darfst du doch aber als bekannt voraussetzen, oder?

weiß ich ehrlichgesagt nicht...mir wars nicht bekannt!
zu not is es aber besser als keine lösung Augenzwinkern

Augenzwinkern

deinen vorschlag für a) werd ich gleich mal anfangen zu rechnen... ma guggn wie weit ich komme...danke schon mal soweit smile

smile

11.05.2011, 14:59

evilbiddy

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Zitat:

a) 3.Binomische Formel anwenden, d.h. erweitern mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+1}+\sqrt{3x+2}) \end{eqnarray*}$ . (EDIT: Ach, es geht auch ohne... einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ im Zähler ausklammern.)

Ich komm zwar grad nicht drauf wie ich aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} - \sqrt{3x+2} \end{eqnarray*}$ " $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ " ausklammern soll, aber ich habs mal mit dem erweitern versucht:

für den Zähler kommt ja was gutes raus: $\begin{eqnarray*} -2x-1 \end{eqnarray*}$

aber der Nenner sieht jetzt sehr bescheuert aus: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{3x^{2} + 2x} \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 15:02

René Gruber

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Zitat:

Original von evilbiddy
Ich komm zwar grad nicht drauf wie ich aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} - \sqrt{3x+2} \end{eqnarray*}$ " $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ " ausklammern soll

$\begin{eqnarray*} x+1 = x\left( 1 + \frac{1}{x} \right), \qquad 3x+2 = x\left( 3 + \frac{2}{x} \right) \end{eqnarray*}$ ,

und dann Wurzel ziehen.

11.05.2011, 15:08

evilbiddy

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k, danke!!!
stimmt es, dass der Grenzwert gegen 0 geht ? (bei a) )

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11.05.2011, 15:09

René Gruber

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Nein.

11.05.2011, 15:12

evilbiddy

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schade eigtl!

ich hab jetzt das raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{1 + \frac{1}{x} } - \sqrt{3 + \frac{2}{x} } \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 15:31

klarsoweit

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OK. Und was passiert, wenn jetzt das x gegen unendlich geht?

11.05.2011, 15:35

evilbiddy

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der Bruch geht gegen 0

11.05.2011, 15:54

René Gruber

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Die Brüche innerhalb der Wurzel, ja. Aber was bedeutet das für den Gesamtgrenzwert der Differenz der beiden Wurzeln?

11.05.2011, 15:59

evilbiddy

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geht es dann gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} - \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 16:02

René Gruber

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Ja. Wobei du ruhig auch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ schreiben darfst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.05.2011, 16:06

evilbiddy

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also ist $\begin{eqnarray*} 1 - \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ schon das ergebnis?!? Tanzen

Tanzen

war ja einfacher als gedacht smile

smile

hast du jetzt noch ne gute idee für die b) ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Danke schon mal für die tolle und schnelle Hilfe!!! smile

smile

11.05.2011, 18:13

René Gruber

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Zitat:

Original von evilbiddy
hast du jetzt noch ne gute idee für die b) ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warum so gierig? Die eine, zumindest halbwegs gute Idee zu b) von oben sollte eigentlich zur Lösung reichen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2011, 16:15

Icheben3

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also ich habe die gleiche aufgabe

die b habe ich lösen können

du kannst das alles aufteilen in $\begin{eqnarray*} \frac12 \lim_{x \to 0} \frac{2x}{sin(2x)}+\frac12 \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

versuch dann mal über den einheitskeis forgende ungleichung aufzustellen:
$\begin{eqnarray*} cos(x) \leq \frac{x}{sin(x)} \leq \frac{1}{cos(u)} \end{eqnarray*}$

das das vordere und das hintere jeweils ggn 1 geht m,uss das in der mitte auch ggn 1 laufen

und damit kommst du dann auf $\begin{eqnarray*} \frac12 \cdot 1 + \frac12\cdot1=1 \end{eqnarray*}$ was hopital uns auch bestätigt

13.05.2011, 16:37

evilbiddy

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Ich versteh zwar, wie du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aus dem 2. term rausziehst ... aber kannst du mir das für den 1. term noch mal ausführlicher zeigen?
Hab nur die ahnung, dass es geht, wenn man den einen term vorher mit 2 erweitert!?

13.05.2011, 16:40

Icheben3

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nja u erweiterst einfach den buch mit 2 dadnn steht da $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{2sin(x)} \end{eqnarray*}$ und da kannste dann eindach $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ raus ziehen

13.05.2011, 16:48

evilbiddy

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k, genauso hab ichs mir schon gedacht...

danke, du hast mir echt sehr geholfen!! smile

smile

13.05.2011, 17:00

evilbiddy

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Zitat:

versuch dann mal über den einheitskeis forgende ungleichung aufzustellen:
$\begin{eqnarray*} cos(x) \leq \frac{x}{sin(x)} \leq \frac{1}{cos(u)} \end{eqnarray*}$

ich habs versucht und bin kläglich gescheitert unglücklich

unglücklich

ich versteh die folgerung die du daraus ziehst, das ist alles sehr einsichtig, aber wie du auf diese ungleichung kommst ist mir vollkommen schleierhaft... unglücklich

unglücklich

13.05.2011, 17:33

Icheben3

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jetzt zeichneste mal den eiheitskreis auf

dann den cosinus und den sinus und den tangens rein

was entsteht, sind 3 flächen die immer die gleiche größenrelation zueinander haben

klingelts?

smile

smile

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