Verteilungsfunktion - Sprungstellen

11.05.2011, 15:12

Gast11022013

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Verteilungsfunktion - Sprungstellen

Meine Frage:
Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(c)=P((-\infty,c]) \end{eqnarray*}$ seine Verteilungsfunktion.

Zeigen Sie:

(a) F ist monoton wachsend und rechtsstetig.
(b) $\begin{eqnarray*} \lim_{c\to -\infty} F(c)=0,\lim_{c\to \infty} F(c)=1 \end{eqnarray*}$

(c) Für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=F(x)-F(-x) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} F(-x)=\lim_{x'x} F(x') \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})>0 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn F in x eine Sprungstelle hat.

[Man nennt ein x mit $\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})>0 \end{eqnarray*}$ ein Atom von P.]

(d) F hat höchstens abzählbar viele Sprungstellen. Damit hat jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar viele Atome.

Meine Ideen:
Okay, also (a) und (b) habe ich schon gezeigt.

Mir fehlen bloß noch (c) und (d).

Zu (c):

Da ist glaube ich in der Definition von F(-x) ein Pfeil, der nach unten zeigt vergessen worden:

Muss es nicht lauten: $\begin{eqnarray*} F(-x)=\lim_{x'\downarrow x}F(x') \end{eqnarray*}$ - ich meine, man meint hier doch die Rechtsstetigkeit?

Ansonsten könnte ich mir die Aussage nicht erklären.

Wenn x jetzt eine Stelle ist, wo der rechtsseitige Limes existiert, kommt ja 0 bei heraus.

Wenn x eine Unstetigkeitsstelle ist, also Sprungstelle, bleibt doch dann nur das F(x) übrig - oder? Also P(x)>0?

Was kommt denn bei einer Sprungstelle für den rechtsseitigen Limes heraus?

11.05.2011, 15:24

Math1986

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RE: Verteilungsfunktion - Sprungstellen

Zitat:

Original von Dennis2010

Zu (c):

Da ist glaube ich in der Definition von F(-x) ein Pfeil, der nach unten zeigt vergessen worden:

Muss es nicht lauten: $\begin{eqnarray*} F(-x)=\lim_{x'\downarrow x}F(x') \end{eqnarray*}$ - ich meine, man meint hier doch die Rechtsstetigkeit?

Nein, man meint hier die Linksstetigkeit, eine Verteilungsfunktion ist grundsaetzlich immer rechtsstetig.

Ueberlege dir hier einfach mal, wie die Verteilungsfunktion einer diskreten/kontinuierlichen Funktion aussieht, dann wird das vielleicht klarer.
Insbesondere sind erstere naemlich nicht linkssteitg (sehr wohl aber rechtsstetig!), dann wird dir auch klar, wie der Grenzwert bestimmt werden kann.

11.05.2011, 15:31

Gast11022013

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RE: Verteilungsfunktion - Sprungstellen
Also fehlt ein Pfeil, der nach oben zeigt.

Okay, also an einer Sprungstelle stimmen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert nicht überein.

Da die Verteilungsfunktion monoton wachsend ist, ist in einer Sprungstelle der rechtsseitige Grenzwert größer als der linksseitge Grenzwert und daher $\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})>0 \end{eqnarray*}$ , wenn x Sprungstelle ist und =0, wenn x keine Sprungstelle ist (da dann linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.)

Man kann ja das F(x) als rechtsseitigen Grenzwert schreiben.

So korrekt:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=F(x)-F(-x)=\lim_{x'\downarrow x} F(x')-\lim_{x'\uparrow x} F(x') \end{eqnarray*}$ und dazu obige Erklärung in Worten.

??

11.05.2011, 15:52

Math1986

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RE: Verteilungsfunktion - Sprungstellen

Zitat:

Original von Dennis2010
Also fehlt ein Pfeil, der nach oben zeigt.

Okay, also an einer Sprungstelle stimmen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert nicht überein.

Da die Verteilungsfunktion monoton wachsend ist, ist in einer Sprungstelle der rechtsseitige Grenzwert größer als der linksseitge Grenzwert und daher $\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})>0 \end{eqnarray*}$ , wenn x Sprungstelle ist und =0, wenn x keine Sprungstelle ist (da dann linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.)

Man kann ja das F(x) als rechtsseitigen Grenzwert schreiben.

So korrekt:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=F(x)-F(-x)=\lim_{x'\downarrow x} F(x')-\lim_{x'\uparrow x} F(x') \end{eqnarray*}$ und dazu obige Erklärung in Worten.

??

$\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ ist immer direkt (ohne Grenzwertbetrachtung) angebbar, der Schritt war bei dir unnötig.

Versuch mal, den anderen Grenzwert mathematisch über die obige Definition zu zeigen

11.05.2011, 15:56

Gast11022013

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Welche Definition meinst Du jetzt? verwirrt

verwirrt

11.05.2011, 16:00

René Gruber

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Ich muss mal intervenieren: Bei aller Liebe und Freiheit der Symbolwahl, aber diese Verwendung von $\begin{eqnarray*} F(-x) \end{eqnarray*}$ als linksseitigen Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist schlicht und einfach "unmöglich" zu nennen:

Wie soll man das denn bitteschön symbolisch vom "echten" Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ unterscheiden können???

Also bitte, können wir uns stattdessen wenigstens auf die eher übliche Bezeichnung $\begin{eqnarray*} F(x-0) \end{eqnarray*}$ einigen, wenngleich die strenggenommen auch angreifbar ist. Zumindest ist hier die Verwechslungsgefahr deutlich geringer.

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11.05.2011, 16:05

Math1986

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Zitat:

Original von René Gruber
Ich muss mal intervenieren: Bei aller Liebe und Freiheit der Symbolwahl, aber diese Verwendung von $\begin{eqnarray*} F(-x) \end{eqnarray*}$ als linksseitigen Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist schlicht und einfach "unmöglich" zu nennen:

Wie soll man das denn bitteschön symbolisch vom "echten" Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ unterscheiden können???

Ja, ich sehe die Verwechslungsgefahr, jedoch sehe ich diese Notation leider öfters unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von René Gruber
Also bitte, können wir uns stattdessen wenigstens auf die eher übliche Bezeichnung $\begin{eqnarray*} F(x-0) \end{eqnarray*}$ einigen

Diese Symbolik ist mir wiederrum neu. verwirrt

verwirrt

11.05.2011, 16:06

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Welche Definition meinst Du jetzt? verwirrt

verwirrt

Die Definition der Verteilungsfunktion, die du oben gepostet hast:
$\begin{eqnarray*} F(c)=P((-\infty,c]) \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 16:08

Gast11022013

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Dann schreibt mans eben aus:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=F(x)-\lim_{x'\uparrow x} F(x') \end{eqnarray*}$

Wie ich das zeige, ist mir trotzdem leider mal wieder unklar.

Edit:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=P((-\infty,x]\cap \left\{x\right\}) \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2011, 16:14

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Dann schreibt mans eben aus:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=F(x)-\lim_{x'\uparrow x} F(x') \end{eqnarray*}$

Wie ich das zeige, ist mir trotzdem leider mal wieder unklar.

Edit:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=P((-\infty,x]\cap \left\{x\right\}) \end{eqnarray*}$ ?

Nicht ganz

Verwende die Darstellung $\begin{eqnarray*} P(-\infty,x])=P((-\infty,x[)+P\left(\left\{x\right\}\right) \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 16:15

René Gruber

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Zitat:

Original von Math1986
Ja, ich sehe die Verwechslungsgefahr, jedoch sehe ich diese Notation leider öfters unglücklich

unglücklich

Tatsächlich? Mir ist sie in über zwei Jahrzehnten noch nie begegnet, jedenfalls nicht aus auch nur einigermaßen seriöser Quelle.

Deren Verwendung im Spezialfall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist was anderes: Das deckt sich ja dann mit der von mir vorgeschlagenen Symbolik, wobei man dann statt $\begin{eqnarray*} 0+0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0-0 \end{eqnarray*}$ noch abkürzend $\begin{eqnarray*} +0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -0 \end{eqnarray*}$ schreibt.

11.05.2011, 16:18

Math1986

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von Math1986
Ja, ich sehe die Verwechslungsgefahr, jedoch sehe ich diese Notation leider öfters unglücklich

unglücklich

Tatsächlich? Mir ist sie in über zwei Jahrzehnten noch nie begegnet, jedenfalls nicht aus auch nur einigermaßen seriöser Quelle.

Was meinst du mit seriöser Quelle?
Ich kenne sie aus einer Stochastik-Vorlesung und aus Stochastik-Einsteigerbüchern.

11.05.2011, 16:19

Gast11022013

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Mir ist nicht klar, wieso diese Gleichung gilt...

Und wie es damit dann weiter geht auch nicht.

unglücklich

unglücklich

11.05.2011, 16:20

René Gruber

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@Math1986

Siehe EDIT vom letzten Beitrag: Kann es sein, dass du das vom Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einfach auf alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ verallgemeinerst? verwirrt

verwirrt

11.05.2011, 16:59

Gast11022013

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Habe jetzt rumprobiert und rumprobiert, aber komme mit Deinem Tipp oben

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=P((-\infty,x[)+P(\left\{x\right\}) \end{eqnarray*}$ nicht klar.

1.) Ich sehe nicht, wieso man das so schreiben kann.

2.) Ich weiß nicht, wies damit dann weiter gehen könnte.

11.05.2011, 17:11

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Habe jetzt rumprobiert und rumprobiert, aber komme mit Deinem Tipp oben

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=P((-\infty,x[)+P(\left\{x\right\}) \end{eqnarray*}$ nicht klar.

1.) Ich sehe nicht, wieso man das so schreiben kann.

2.) Ich weiß nicht, wies damit dann weiter gehen könnte.

Sorry, ich habe mich verschrieben

$\begin{eqnarray*} P((-\infty,x])=P((-\infty,x[)+P\left(\left\{x\right\}\right) \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 17:12

Math1986

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Zitat:

Original von René Gruber
@Math1986

Siehe EDIT vom letzten Beitrag: Kann es sein, dass du das vom Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einfach auf alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ verallgemeinerst? verwirrt

verwirrt

Nein, das meine ich nicht.

11.05.2011, 17:22

Gast11022013

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Okay, dann habe ich erstmal:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=P((-\infty,x])-P((-\infty,x[)=F(x)-P((-\infty,x[) \end{eqnarray*}$

Das ist ja schonmal ein Schritt weiter.

Was ich jetzt noch nicht verstehe ist, wie das mit der linksseitigen Stetigkeit ins Spiel kommt.

11.05.2011, 17:26

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Okay, dann habe ich erstmal:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{x\right\})=P((-\infty,x])-P((-\infty,x[)=F(x)-P((-\infty,x[) \end{eqnarray*}$

Das ist ja schonmal ein Schritt weiter.

Was ich jetzt noch nicht verstehe ist, wie das mit der linksseitigen Stetigkeit ins Spiel kommt.

Naja es ist doch
$\begin{eqnarray*} P((-\infty,x[)=\lim_{x'\uparrow x} F(x') \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 17:35

Gast11022013

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Und genau das kapier ich nicht, wieso das so ist. Big Laugh

Big Laugh

Edit:

Ich käme nur auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x'\uparrow x} F(x')=\lim_{x'\uparrow x} P((-\infty,x']) \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 19:02

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Und genau das kapier ich nicht, wieso das so ist. Big Laugh

Big Laugh

Edit:

Ich käme nur auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x'\uparrow x} F(x')=\lim_{x'\uparrow x} P((-\infty,x']) \end{eqnarray*}$

Es ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{x'\uparrow x} (-\infty,x']=(-\infty,x[ \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 19:06

Gast11022013

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Aber wieso gehört denn das x nicht zu dem Intervall bei der Limesbildung?

[Entschuldigung, aber sowas bringt mich immer ganz durcheinander.]

11.05.2011, 19:08

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Aber wieso gehört denn das x nicht zu dem Intervall bei der Limesbildung?

Weil der Grenzwert selbst ja nicht angenommen wird.

11.05.2011, 19:12

Gast11022013

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Und wieso nicht?

unglücklich

unglücklich

Weil das immer so bei Grenzwertprozessen so ist?

11.05.2011, 19:16

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Und wieso nicht?

unglücklich

unglücklich

Weil das immer so bei Grenzwertprozessen so ist?

Ja genau, es mach ja einen Unterschied, ob ich einen Grenzwert betrachte oder den Funktionswert selbst

11.05.2011, 19:20

René Gruber

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@Dennis2010

Der Schlüssel zum Verständnis liegt wohl darin, dass hier der Grenzwert einer Mengenfolge betrachtet wird. Deine Nachfragen zeugen davon, dass du nicht wirklich weißt, wie der definiert ist - das solltest du nachholen.

21.08.2011, 01:17

Gast11022013

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Ah, ich glaube, ich habe es jetzt bei der Wiederdurchsicht endlich verstanden, was Du meintest.

Wenn man, so wie hier, eine Folge aufsteigender links halboffener Intervalle betrachtet, wird ja der Grenzwert, gegen die die rechten Intervallgrenzen streben, nicht angenommen. Der Grenzwert ist in diesem Fall ja als Vereinigung der ganzen Intervalle definiert.

Wenn man hingegen eine abfallende Folge solcher Intervalle betrachten würde und die rechten Intervallgrenzen gegen einen Wert streben, so liegt dieser im Schnitt aller Intervalle (so ist in diesem Fall ja der Grenzwert definiert].

Dann ist klar, dass bei dieser Aufgabe der Grenzwert der rechten Intervallgrenzen nicht "dazugehört".

Korrekt verstanden?

21.08.2011, 11:27

Gast11022013

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Es ist eine Weile her, aber Teilaufgabe (d) ist noch ungelöst.

Wie kann man zeigen, daß F höchstens abzählbar viele Sprungstellen hat?

Ich bin mir auch gar nicht sicher, was man hier mit "höchstens abzählbar viele" meint: Bei Wikipedia steht, daß man zu den höchstens abzählbaren Mengen erstens die unendlich abzählbaren Mengen, aber auch endliche Mengen zählt.

Edit:

Meine Idee wäre es, irgendwie Intervalle um die Unstetigkeitsstellen umzu zu betrachten, also:

Betrachte zu allen Unstetigkeitsstellen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ die Intervalle $\begin{eqnarray*} (c_i,d_i), c_i:=\lim_{x'\uparrow x}F(x'), d_i:=\lim_{x'\downarrow x}F(x') \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht kann man daraus jetzt irgendwie folgern, dass es nur abzählbar viele dieser Intervalle geben kann?

Wenn man jetzt davon ausgeht, daß hier mit "höchstens abzählbar" auch abzählbar unendlich gemeint ist, so könnte man doch jetzt aus jedem Intervall eine rationale Zahl nehmen. Die rationalen Zahlen sind ja abzählbar.

Irgendwie bin ich da ein bisschen über die Begrifflichkeiten in dieser Aufgabe verwirrt.

21.08.2011, 11:50

HAL 9000

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Zu d): Verteilungsfunktion

21.08.2011, 11:58

Gast11022013

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Danke.

Wozu braucht man da die Endlichkeit der $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ ?

Und was ist hier gemeint mit "höchstens abzählbar viele": unendlich abzählbar oder endlich?

21.08.2011, 13:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis2010
Wozu braucht man da die Endlichkeit der $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ ?

Abzählbar würde auch reichen, aber sie sind nun mal endlich. Wichtig ist, dass sie nicht überabzählbar sein können, denn das würde den Beweis zu Fall bringen.

Zitat:

Original von Dennis2010
Und was ist hier gemeint mit "höchstens abzählbar viele": unendlich abzählbar oder endlich?

Du stellst Fragen, die du bei etwas eigenständiger Recherche auch selbst beantworten könntest (und eigentlich ja auch beantwortet hast)! Forum Kloppe

Forum Kloppe

21.08.2011, 17:04

Gast11022013

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Ich gebe Dir Recht, das mache ich aber nicht aus Böswilligkeit, sondern meist aus Verunsicherung.

Danke für die Hilfe, der Beweis ist mir nun klar.

Wink

Wink

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