Hüllkurven

11.05.2011, 15:27

42_futuria

Hüllkurven

Meine Frage:
In einem Koordinatensystem sind Geraden eingezeichnet. Auf den Geraden liegen jeweils die Punkte P(-a/a) und Q (1-a/1-a) mit 0<=a<=1.

1)
Wie zeigt man, dass die Geraden eine Parabel einhüllen, wenn man eine Schar von Geraden durch P und Q zeichnet?

Meine Ideen:
das Vorgehen ist mir klar, jedoch kann ich die einzelnen Schritte nicht vollziehen:

-> Wie ermittelt man die Gleichungen der Geraden g(a), die durch P und Q gehen?

-> Wie bestimmt man für jeden Wert von x den Wert a so, dass die betreffende Gerade g(a) an dieser Stelle x im Vergleich zu allen anderen Geraden den größten Funktionswert hat?
(die Ableitungen werden nach der Variablen a berechnet)

-> Wie setzt man den für a ermittelten Term a(x) in die Geradengleichung ein?
(so entsteht eine Parabel als Hüllkurve der Geraden)

12.05.2011, 07:14

Hubert1965

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hüllkurven

Zitat:

Original von 42_futuria
-> Wie ermittelt man die Gleichungen der Geraden g(a), die durch P und Q gehen?

Allgemeine Geradengleichung:
$\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$

Die Angabe des Punktes P heißt: x=-a und y=a. Das setzt du in die Geradengleichung ein:

$\begin{eqnarray*} a=m(-a)+n \end{eqnarray*}$

Dasselbe machst du mit den Koordinaten des Punktes Q. Du hast dann zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten m und n. Löse dieses Gleichungssystem. Dabei solltest du, wenn ich mich nicht verrechnet habe, für m diesen Ausdruck rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} m=f_m(a)=1-2a \end{eqnarray*}$

Für n erhältst du ebenfalls einen Ausdruck, der von a abhängt. Diese Ausdrücke setzt du in die Allgemeine Geradengleichung ein:

$\begin{eqnarray*} y=f_m(a)x+(f_n(a)) \end{eqnarray*}$

bzw, weil ich dir freundlicherweise fm(a) schon ausgerechnet habe:
$\begin{eqnarray*} y=(1-2a)x+(f_n(a)) \end{eqnarray*}$

Das ist die Darstellung einer Geradenschar.

Die Hüllkurve ist die Menge aller Schnittpunkte benachbarter Geraden. (Was "benachbart" heißt, erkläre ich gleich).
Das heißt: Du nimmst zwei benachbarte Geraden, schneidest sie miteinander, und merkst dir den Schnittpunkt dieser beiden. Dann nimmst du ein anderes Paar benachbarter Geraden und erhältst einen anderen Schnittpunkt. Das ganze machst du unendlich oft. Damit erhältst du unendlich viele Punkte, die gemeinsam die Hüllkurve ergeben.

Dieses Verfahren hat zwei Nachteile:
1) Du hast nicht unendlich viel Zeit um alle Berechnungen durchzuführen
2) Du weißt nicht, was genau "benachbart" bedeutet.

Fangen wir mit 2) an:
Eine Gerade kann ich erhalten, indem ich für a z.B. 0,1 einsetze. Und eine zweite erhalte ich, wenn ich für a 0,2 einsetze. Das ergibt einen a-Abstand von 0,1. Das ist schon mal nicht schlecht, kann aber leicht verbessert werden, indem ich statt 0,2 0,11 verwende. Das wiederum kann durch 0,101 nochmal verbessert werden, und das wiederum durch 0,1001.
Du siehst: Man kann es immer noch ein Stück besser machen. Aber bevor ich dir zeige wie man es richtug gut macht, schauen wur uns mal an was wir eigentlich gemacht haben:
1. Versuch: 0,1 und 0,1+0,1
2. Versuch: 0,1 und 0,1+0,01
3. Versuch: 0,1 und 0,1+0,001
4. Versuch: 0,1 und 0,1+0,0001

Nach unendlich vielen Versuchen:
0,1 und 0,1+d wobei d genau das d ist, das man beim Differenzieren so gerne verwendet.

Du musst also die Gerade mit dem Parameter a mit einer Geraden schneiden, wo du statt a das einsetzt:
$\begin{eqnarray*} (a+da) \end{eqnarray*}$

Also nochmal:
Du schneidest die Gerade g(a) mit der Geraden g(a+da). Du erhältst dadurch eine Gleichung, in der der Differentiationsoperator d schon drinnen ist. Du must dann nur noch die Ableitung durchführen und bist dann schon fertig.

Neue Frage »

Antworten »

Hüllkurven

Verwandte Themen