Basis aus Eigenvektoren

11.05.2011, 17:45	Mr.Eisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis aus Eigenvektoren Seien $\begin{eqnarray} f: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus, $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ besitze eine Basis aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} f^k \end{eqnarray}$ . Besitzt $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ eine Basis aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ? Kann mir da jemand einen Tipp geben? Das scheint ja eher eine Verständnisfrage zu sein. Die Antwort muss aber sicher ausreichend begründet werden. Danke!
11.05.2011, 18:51	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte den entscheidenden Hinweis. Es handelt sich bei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ um einen Isomorphismus... Ibn Batuta
13.05.2011, 13:55	Mr.Eisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Also, ich würde sagen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ eine Basis aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ besitzt...und zwar wegen der Bijektivität; die ist ja essentielle für einen Isomorphismus bzw. der Isomorphismus ist als bijektiver Homomorphismus definiert. Falls das korrekt ist bleibt allerdings die Frage, wie man das formal begründen bzw. beweisen kann.
17.06.2011, 19:18	Chiquita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die selbe Aufgabe und überlege auch gerade daran herum... würde auf jeden Fall auch mit der Bijektivität begründen, aber ich weiß nicht genau wie... mit der Injektivität "kommen wir von fk nach f" und durch die Surjektivität "geht keine Dimension verloren" und somit haben wir immer noch dieselbe Anzahl an Basisvektoren... aber woher weiß ich, dass die Basis immer noch aus Eigenvektoren besteht?
18.06.2011, 10:51	Chiquita	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh... ich habe noch etwas vergessen: Wir haben den Hinweis bekommen, die Jordansche Normalform zu verwenden... also ich weiß ja, dass die mit der Basis aus Eigenvektoren zusammenhängt, aber wie genau ich die jetzt für den Beweis verwenden soll, ist mir nicht ganz klar... Kann mir das jemand erklären?

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