Potenz von Matrizen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Potenz von Matrizen
Meine Frage:
Hallo,
ich soll zeigen, dass jede beliebige Potenz einer nxn Matrix A, als Linearkombination der Matrizen

I, A, A^2, . . .A^n-1 (I ist die Einheitsmatrix) darstellbar ist!

Meine Ideen:
Ich dachte da an einen Beweis mit Induktion:

aber ich kann die Aussage nicht mal für n = 2 zeigen!!!

Denn wie stelle ich A^2 als LK von I und A dar?? Es muss ja A^2 = aI + bA gelten!

Kann jemand helfen??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Cayley-Hamilton ein Begriff?

Übrigens: A^n-1 bedeutet . Das willst du doch sicher nicht sagen ...
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar, dass soll A^(n-1) heißen smile

also Cayley Hamilton sagt mir was: Sein X das char. Polynom einer Matrix A dann ist

X(A) = 0, ich weiß auch wie man Matrizen in Polynome einsetzt!

Ich kann ja dann sagen, dass:

0 = aI + bA + cA^2 + ... + dA^(n-1) + eA^n gilt.

Wenn die LK nun also gerade das char. Polynome darstellt, dieses hat ja für eine nxn Matrix den Grad n, dann stimmt die obige Gleichung.

Gilt der Beweis der Gleichung, denn schon als Beweis für die Aussage über die Potenz, also dass jede Potenz von A mit der LK möglich ist???

Danke für den super Timm
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

das soll Tipp heißen nicht Timm
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich denn jetzt noch eine Induktion machen, für den vollständigen Beweis?

für n=2, wäre meine Matrix eine 2x2 Matrix, das char. Polynom hätte auch Grad 2:

X(A) = 0 = aI + bA + cA^2

=> cA^2 = -aI - bA

so jetzt habe ich die 2te Potenz aber immer noch nicht als LK aus den anderen, da da noch diese c vor A^2 steht. Ich kann aber die Matrix -aI -bA nicht durch den Skalar c teilen!!!

Denkfehler??
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok als ich hab gelesen, dass das char. Polynom normiert ist. Das heißt das c in der Gleichung ist überflüssig, da es 1 ist.

Ich kann es nun also zeigen für nxn Matrizen ( es ging jetzt auch für 2x2 Matrix) muss ich zum vollständigen Beweis eine Induktion machen?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier mal der Beweis wie ich ihn führe mit Induktion:

IA: A^n = aI + bA + ... . cA^(n-1)

=> 0 = aI + bA + ... cA^(n-1) - A^n

IV sei n=2:

Laut Cayley Hamiltion ist Xa(A) = 0. Das char. Polynom Xa ist normiert und hat Grad n.

Xa = a + bx + cx^2 + ... x^n

sein A eine 2x2 Matrix Vorfaktor vor x^n ist 1(normiert)

Xa(A) = 0 = aI + bA + A^2 => A^2 = -aI - bA, damit ist eine LK gefunden die A^2 darstellt.

IS: sei die Aussage also für n richtig, dann auch für n+1: höchtser Grad ist n+1, Vorfaktor davon wieder 1

Xa(A) = 0 = aI + bA + cA^2 + ... + cA^(n-1) + dA^n + A^(n+1) =>

A^(n+1) = -aI - bA - cA^2 - ... - dA^n, damit ist eine LK für A^(n+1) gefunden, und die Aussage bewiesen!!!

Kann da mal einer einen Blick drauf werfen???
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir einer die Richtigkeit meines Beweises bestätigen???

Danke!
gigakloputzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hey in der Aufgabe steht doch, dass man es für jede beliebige Potenz zeigen soll, also nehmen wir einfach k. Und dann muss man doch nach k induzieren oder seh ich das falsch?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

kannst ja mal zeigen, wie du das machen würdest.

Wo ist der Unterschied ob ich mit k oder n induziere??
gigakloputzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's nich nicht aber der Unterschied ist, dass n ja dimensionsabhangig ist. Für n= 1 hast du dann ja eine 1x1 matrix. Du sollst aber jede beliebige Potenz damit darstellen können also k, was ja eine unabhängige variable ist. Vlt muss man auch gar nicht über ne Induktion gehen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

okay, jetzt weiß ich was du meinst!!! Aber dann hilft der Cayley Hamilton Ansatz auch nicht mehr weiter...

oder???

poste es, falls du weiter weißt!!! Forum Kloppe
toneesnightmare Auf diesen Beitrag antworten »

...passt denke ich zum Thema.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Polynomdivision ist das Stichwort.

Es sei eine ganze Zahl.

Man führt für das Polynom eine Polynomdivision durch das charakteristische Polynom der Matrix durch. Man hat also Polynome mit



wobei entweder das Nullpolynom ist oder einen Grad besitzt. Wenn man jetzt für einsetzt, liegt alles auf der Hand (Cayley-Hamilton).
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