Extremwertaufgabe

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Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
Hallo,

ich habe folgende Extremwertaufgabe:

Eine Cola-Dose hat eine Höhe von 12cm und der Radius beträgt 3cm. Sie wiegt 20g; wenn man Wasser in die Dose füllt, verändert sich der Schwerpunkt.
Wann ist der Schwerpunkt am niedrigsten, also wie hoch muss das Wasser dafür stehen?

Ich weiß nicht, wie man hier die Haupt- und Nebenbedingung aufstellen soll.

Ich hoffe, dass ihr mir dabei helfen könnt.

Danke und viele Grüße,

Valentin
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habe erst einmal den Schwerpunkt der Dose berechnet, wenn der Schwerpunkt in der Mitte liegt.

Also

Wie muss ich jetzt verfahren?
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Okay, ich habe erst einmal den Schwerpunkt der Dose berechnet, wenn der Schwerpunkt in der Mitte liegt.

Also


Schon mal nicht schlecht.

Zitat:
Wie muss ich jetzt verfahren?


Mach sie mal halb voll Wasser, nimm an, daß ein Liter Wasser ein Kilogramm wiegt (das ist mal wieder eine der berühmten "stillschweigenden Annahmen", über die ich mich ständig aufregen muß) und berechne den neuen Schwerpunkt.

So eine Aufgabe ist mir übrigens in den Sinn gekommen, als ich letztes Jahr in Urlaub geflogen bin und mich geärgert habe, daß meine Wasserflasche bei Turbulenzen dauernd umfiel. Wenn sie ganz voll war, tat sie's, wenn sie ganz leer war, auch. Dazwischen gab's ein Optimum, das ich dann berechnet habe. Nur, falls jemand wissen will, womit sich Mathematiker im Urlaub beschäftigen.

Viele Grüße
Steffen, schon wieder OT werdend
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke.

Okay, dann wäre der Füllstand




Aber wie komme ich auf den momentanen Schwerpunkt (bei dieser Fullhöhe) und wie komme ich hier eigentlich weiter?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Okay, dann wäre der Füllstand




Aber wie komme ich auf den momentanen Schwerpunkt (bei dieser Fullhöhe) und wie komme ich hier eigentlich weiter?


Jetzt hast Du also 170 g Wasser drin, dessen Schwerpunkt bei exakt 3 cm liegt. Die reine Dose wiegt 20 g und hat ihren Schwerpunkt bei exakt 6 cm. Wie diese Schwerpunkte kombiniert werden, verrät Dir eine Formel, über die Du dann die Bedingungen aufstellen kannst.

Viele Grüße
Steffen
 
 
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber wie lautet diese Formel?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Masse der Dose und deren Schwerpunkt hast, sowie die Masse des Wassers und dessen Schwerpunkt, kannst du den Gesamtschwerpunkt über das Hebelgesetz bestimmen.

Hilft dir das weiter?
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Hebelgesetz hatte ich noch nicht, schein aber so auszusehen:



Also Kraft * Kraftarm = Last * Lastarm

Das bedeutet? Was ist hier was?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schwerpunkt ist physikalisch der Punkt, in dem man einen Körper unterstützen muss, damit er sich unter der Schwerkraft im Gleichgewicht befindet. Jetzt stell dir die Dose in waagrechter Lage vor und nimm an, dass das Wasser dabei seine Lage relativ zur Dose im senkrechten Zustand nicht ändert. Nimm an, es sei gefroren.

Das Gewicht der Dose greift jetzt im Schwerpunkt der Dose an. Sein Hebelarm ist der Abstand seines Schwerpunkts zu dem unbekannten Gesamtschwerpunkt. Das Gewicht des Wassers greift im Schwerpunkt des Wassers an. Sein Hebelarm ist der Abstand seines Schwerpunktes zu dem unbekannten Gesamtschwerpunkt. Damit lässt sich aus dem Hebelgestz, so, wie du es hingeschrieben hast, die Position des unbekannten Gesamtschwerpunkts ermitteln. Statt der Kraft kannst du im Hebelgesetz auch die Masse einsetzen, denn die Gravitationskonstante kürzt sich weg.

Am besten machst du die Rechnung mit Variablen, um auf die von Bühler angedeutete Formel zu kommen. Zahlen kann man später einsetzen.

Ich vermute allerdings, dass ihr die sich ergebende Formel hattet. Dann kannst du dir die Rechnung sparen und musst nur dein Gedächtnis oder das Skript bemühen.
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Antwort, aber irgendwie fehlt mir das Geschick, wenn mein Ansatz überhaupt richtig ist, den Abstand des Schwerpunktes zum unbekannten Schwerpunkt auszudrücken.

So müsste es doch in etwa aussehen, wenn x = Abstand zum Schwerpunkt:




Aber sicher bin ich mir nicht.


Gruß

Valentin
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Der Abstand von was zum Schwerpunkt soll x denn sein?

Wie ich schon sagte, ist es besser, solche Dinge allgemein anzugehen als mit konkreten Zahlen. Es seien 2 Massen und mit Schwerpunktkoordinaten und bezüglich einer Achse des Koordinatensystems gegeben, bei deinem Beispiel also die senkrechte Koordinate. Es sei s die entsprechende Koordinate des Gesamtschwerpunkts, die gesucht wird.

Der Abstand der beiden Teilschwerpunkte vom Gesamtschwerpunkt ist dann und . Dabei ist o. B. d. A. angenommen, dass oberhalb und unterhalb von s liegt. Dann ergibt das Hebelgesetz:





Kommt dir das bekannt vor?

Wenn der Index 1 die Dose bezeichnet und 2 das Wasser, dann ist und konstant. und hängt von der Füllhohe h ab. Das brauchst du nur einzusetzen und dann nach den üblichen Methoden das Minimum von zu bestimmen.
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

also:





dann würde h = 0 rauskommen ? !

was habe ich nun falsch gemacht ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Valentin99
was habe ich nun falsch gemacht ?

So ziemlich alles! Und das lässt einen verzweifeln. unglücklich

(1) Du hast die beiden Teilschwerpunkte vertauscht. Der Schwerpunkt der leeren Dose ist 6 cm und nicht 3 cm.

(2) Du rechnest beim Wasser mit einer verqueren Mischung aus halb gefüllter Dose und variabel gefüllter Dose. Die 170 g würden doch zu einer halb gefüllten Dose gehören. Deren Wasserschwerpunkt läge bei 3 cm und h hätte in der Gleichung nichts mehr zu suchen.

Du musst mit variabel gefüllter Dose rechnen. Wenn das Wasser bis zur Höhe h geht, ist seine Masse und sein Schwerpunkt



(3) Im Nenner steht die Summe der beiden Massen und nicht das Produkt. Und auch da steht , wie von mir angegeben.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

Zitat:


Das ist leider noch falsch - aber nicht aufgeben! Machen wir weiter.

Fülle doch einfach mal Huggys Formel mit Leben und setze die vier Zahlen ein (aber bitte richtig, oben hast Du und verwechselt). Du bekommst einen Schwerpunkt irgendwo zwischen 3 und 6 Zentimetern.

Jetzt denk nach: wie kommt man von der Füllhöhe allgemein auf die Masse ? Wie kamst Du von den 6 cm auf die 170 g? Kannst Du das in eine Formel packen?

Denn die 6 cm und die 170 g sind nicht konstant! Im Gegenteil, die 6 cm werden wir zur einzigen Variablen h machen, die wir in die Formel reinstecken, um den Schwerpunkt s(h) zu berechnen.

Jetzt zeig mal, was Du kannst.

Viele Grüße
Steffen
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das hatten wir schon einmal mit wasser statt mit cola Augenzwinkern

du kannst ja einmal gucken und mit den pfeiltasten den schwerpunkt auf und ab sausen lassen
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hatte wohl eine kleine Gedankenblockade.

Nun ist es ja offensichtlich...


umformen zu:



jetzt die ableitung bilden:



diese = 0 setzen und h berechnen:




<- das ist das Ergebnis.

Ich danke nochmal allen für ihre nette Hilfe!!!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist das richtig! Freude

Hast du auch mal ausgerechnet?
Möglicherweise verblüfft dich das Ergebnis. Der Zusammenhang ist kein Zufall, der von den verwendeten Zahlen abhängt, sondern allgemeingültig. Man kann sich das auch leicht physikalisch überlegen.
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mach ich mal schnell.



für s(h_2) kommt dann 3.70673 raus.


edit:

Ach ja, der Schwerpunkt ist doch letztendlich ein Punkt im Koordinatensystem, wenn man so will. Also P(h|s(h)) oder ?

Im Fall von h_2 also P(2.29 | 3.71)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es war doch .
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups... Hab ich ausversehen verwechselt smile
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