Zufallsexperiment - mehrstufig

11.05.2011, 19:01	Soldieer	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsexperiment - mehrstufig Meine Frage: Die Aufgabenstellung lautet wie folgt (gekürzt): Bei einem HIV-Test: - 99,9% der tatsächlich Infizierten haben positive Testreaktion --> bei nur 0,1% der Infizierten versagt der Test - irrtümliche positive Reaktion bei Nichtinfizierten: 0,2% a) 0,1% der Testteilnehmer sind wirklich HIV-infiziert. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer Infektion, wenn der Test positiv ausfällt? Wie sicher, wenn negativ? Meine Ideen: Nun habe ich zwei Lösungswege gefunden, weiß aber nicht, welcher richtig ist. 1. Lösungsweg: 0,1%99,9% = 9,99% 99,9%0,2% = 19,98% 9,99% / 19,98% = 50% 2. Lösungsweg: P = P (infiziert und positiv) / P (positiv) P = (0,1%99,9%) / (0,1%99,9% + 99,9%*0,2%) = 1/3 = 33,33333333% Für mich erscheint der zweite Lösungsweg am vernünftigsten, weil ich den ja auch gemacht habe . Der zweite Lösungsweg stammte von meinem Mathelehrer.
11.05.2011, 20:23	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei welchem der beiden Lösungswege macht die Laplacewahrscheinlichkeit Sinn? $\begin{eqnarray} P=\frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl aller möglichen Fälle}} \end{eqnarray}$ Es werden nur Fälle mit positivem Test betrachtet. Welche sind "alle Fälle mit positivem Test"? Und welche sind die für das Ereignis "Infektion liegt vor" günstigen Fälle mit positivem Test?
11.05.2011, 21:04	Soldieer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dank erstmal ^^ Genau diese LaPlace-Regel habe ich bei der zweiten Rechnung gerücksichtigt und benutzt. Interpretiert habe ich das so: Anzahl der günstigen Fälle = Infiziert und positiv (Wahrscheinlichkeit, dass man auch wirklich krank ist und dies als Ergebnis angezeigt wird. geteilt durch Anzahl aller möglichen Fälle = hier also positiv (d.h. infiziert und nicht infiziert, damit wir auch die Fehlergebnisse berücksichtigen) Infiziert und positiv --> 0,1% (der testteilnehmer, die wirklich infiziert sind) * 99,9% (wahrscheinlichkeit, dass der test bei infizierten menschen "positiv" anzeigt) Positiv (inf. und nicht inf.) --> 0,1%99,9% (pos. und inf.) + 99,9% (alle nicht infizierten) 0,2% (nicht infizierte, die aber fehlerhaft das ergebnis "positiv" bekommen) dann bekomme ich das ergebnis: 1/3 Ist es soweit richtig?
11.05.2011, 21:07	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, richtig.
11.05.2011, 21:09	Soldieer	Auf diesen Beitrag antworten »
hier nochmal die zitierte (!) aufgabe aus dem buch: "Die Testverfahren zum Nachweis der HIV-Infektion haben eine hohe Sicherheit: Bei 99,9% der tatsächlich Infizierten erfolgt eine positive Testreaktion. Allerdings zeigt der Test auch irrtümlich eine positive Reaktion bei 0,2% der Nichtinfizierten. Man schätzt, dass 0,1% der Testteilnehmer in Deutschland HIV-infiziert sind. Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion, wenn der Test bei einer Person positiv ausgeht?"
11.05.2011, 21:12	Soldieer	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die antwort!!! schade, dass man hier leute nicht bewerten kann jedenfalls bleibt es für mich ein rätsel, wie der lehrer auf 50% kann. :S
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11.05.2011, 22:46	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es auch anschaulicher formulieren: Es gibt doppelt soviele Gesunde unter den Positiven, wie es kranke gibt. Oder man macht es hochformal mit Bayes: $\begin{eqnarray} P(A\|B) = \frac {P(B\|A) \cdot P(A)} {P(B)} \end{eqnarray}$ , wobei: A: "Man ist krank." B: "Man ist positiv." und entsprechend: $\begin{eqnarray} P(B \| A)= 99,9% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A)=0,1% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B)=P(B \cap A) + P(B \cap \overline{A}) = 0,1% \cdot 99,9% + 99,9% \cdot 0,2% \end{eqnarray}$ . ergibt dann genau deine Formel: $\begin{eqnarray} P(A\|B) = \frac {99,9% \cdot 0,1%}{0,1% \cdot 99,9% + 99,9% \cdot 0,2%}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$

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