Knifflige Stammfunktion und Ableitung bilden

11.05.2011, 19:10

Rosenkohl

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Knifflige Stammfunktion und Ableitung bilden

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgaben erhalten, mit denen ich absolut nicht klarkomme:

1.)Zunächst mal soll die Stammfunktion des folgenden Integrals berechnet werden: $\begin{eqnarray*} \int_-^- \! 0.5\times \left(e^{x}-e^{-x} \right) \, dx \end{eqnarray*}$

Ich weiss mittlerweile, dass der cosh die Stammfunktion ist, aber ich soll mit dem arbeiten, was gegeben ist und finde keine Sinvolle Methode, bzw. den richtigen Ansatz.

2.)In einer Sachaufgabe ist es gefordet, die Ableitung der Funktion
$\begin{eqnarray*} q^{2}\times t\times e^{-q²\times t} \end{eqnarray*}$ zu bilden.

Weiss aber nicht, wie ich mit den 3 Faktoren umgehen soll, um nun abzuleiten.

Danke im Vorraus für jede Hilfe!

Meine Ideen:
Verzweifle am Ansatz unglücklich

unglücklich

11.05.2011, 19:21

Mulder

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RE: Knifflige Stammfunktion und Ableitung bilden

Zitat:

Original von Rosenkohl
1.)Zunächst mal soll die Stammfunktion des folgenden Integrals berechnet werden: $\begin{eqnarray*} \int_-^- \! 0.5\times \left(e^{x}-e^{-x} \right) \, dx \end{eqnarray*}$

Ich weiss mittlerweile, dass der cosh die Stammfunktion ist, aber ich soll mit dem arbeiten, was gegeben ist und finde keine Sinvolle Methode, bzw. den richtigen Ansatz.

Was willst du da mit dem cosh? Da stehen einfach zwei e-Funktionen, die nun wirklich völlig elementar zu integrieren sind. Die 0.5 als konstanten Vorfaktor kann man vor das Integral ziehen. Und e^x-e^(-x) sollte doch zu integrieren sein.

Zitat:

Original von Rosenkohl
2.)In einer Sachaufgabe ist es gefordet, die Ableitung der Funktion
$\begin{eqnarray*} q^{2}\times t\times e^{-q²\times t} \end{eqnarray*}$ zu bilden.

Zwar weiß ich nicht, ob du nun nach q oder nach t ableiten willst, aber in jedem Fall ist ja einer der drei Faktoren konstant und bleibt beim Ableiten einfach erhalten. Das Ableiten erfolgt ansonsten einfach mit der Produktregel, wie das beim Ableiten von Produkten eben so üblich ist.

Edit: Latex-Tipp: Ein Malzeichen kriegst du mit \cdot. Das \times wird eher in anderen Zusammenhängen verwendet.

11.05.2011, 19:43

Rosenkohl

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Ahh, vielen Dank schonmal für Denkanstoß Nummer 1, hab mich wohl einfach nicht richtig konzentriert.

Bei der zweiten komme ich trotzdem nicht richtig weiter, habe jetzt nach Produktregel abgeleitet und

2 \cdot q \cdot \left(-2q\right) \cdot e^{-q² \cdot t}

raus.

Wenn ich das 0 setze, wie bekomm ich denn da t :OO

11.05.2011, 19:46

Rosenkohl

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Sry, (kann nicht editieren, da nicht registriert)

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot q \cdot \left(-2q\right) \cdot e^{-q² \cdot t} \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 19:48

Mulder

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In jedem Fall ist falsch, was du da schreibst. Produktregel nachgeschlagen? Ich schätze nein! Und du leitest nun also doch nach q ab, ja (nach wie vor hast du diese alles entscheidende Info einfach für dich behalten)?

Zitat:

Original von Rosenkohl
Wenn ich das 0 setze, wie bekomm ich denn da t :OO

Ganz ehrlich: Wie soll ich mit dem Satz was anfangen können?

11.05.2011, 19:52

Rosenkohl

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ich glaube ich soll nach t ableiten um dann den hochpunkt der Fkt. f(t) zu bestimmen. Ich weiss wie die Produktregel geht, (uv)' = u'v /cdot uv', ich weiss aber nich wie das hier anzuwenden ist :S

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11.05.2011, 19:56

Mulder

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Zitat:

Original von Rosenkohl
ich glaube ich soll nach t ableiten um dann den hochpunkt der Fkt. f(t) zu bestimmen.

Glauben ist gut, aber wissen ist besser. Wenn da bei dir f(t) steht, ist t die Variable. In deinem ersten misslungenen Versuch hast du aber ja, wie es scheint, versucht, nach q abzuleiten.

Zitat:

Original von Rosenkohl
Ich weiss wie die Produktregel geht, (uv)' = u'v /cdot uv',

Nein, so geht sie eben nicht! Ich hatte dich doch gebeten, sie nachzuschlagen.

$\begin{eqnarray*} (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 20:02

Rosenkohl

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Sorry, bin total durch den Wind, weiss aber trotzdem nicht was ich jetzt machen muss, q, t und diese e-funktion verwirren mich einfach :S

11.05.2011, 20:05

Mulder

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Das ist mir jetzt zuwenig Rückmeldung.

Wie die Produktregel geht, habe ich schon geschrieben. Und auch, dass konstante Faktoren einfach erhalten bleiben und daher beim Ableiten gar nicht berücksichtigt werden müssen, die kannst du rausnehmen und nach dem Ableiten einfach wieder dranklatschen.

11.05.2011, 20:10

Rosenkohl

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Okay, dann schließe ich darauf, dass q der konstante Faktor ist und leite ab:

$\begin{eqnarray*} 1 \times e^{t} + t \times e^{t} \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 20:15

Mulder

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Also das -q² im Exponenten der e-Funktion kannst du natürlich nicht einfach so weglassen! Das musst du beim Ableiten der e-Funktion ja berücksichtigen, da brauchst du die Kettenregel!

Ansonsten stimmt das nun immerhin strukturell schon mal. Jetzt pack das -q² da wieder in den Exponenten der e.Funktion und dann nochmal von vorn.

11.05.2011, 20:19

Rosenkohl

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Am Anfang weglassen, aber im Exponenten nicht?

also $\begin{eqnarray*} 1 \times e^{-q^{2} t} + t \times -2q \times e^{t} \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 20:23

Mulder

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Zitat:

Original von Rosenkohl
Am Anfang weglassen, aber im Exponenten nicht?

Ja. Das sagt dir die Faktorregel. Du hast gravierende Lücken, was Ableitungsregeln betrifft. Schlage die nach, das bricht dir sonst das Genick!

Zitat:

Original von Rosenkohl
also $\begin{eqnarray*} 1 \times e^{-q^{2} t} + t \times -2q \times e^{t} \end{eqnarray*}$

Nein.

unglücklich

Jetzt hast du das -q² ja wieder abgeleitet. q ist doch eine konstante Zahl, also ist auch -q² einfach nur irgendeine konstante Zahl. Allgemein gilt nach Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \left ( e^{g(x)} \right )' = g'(x) \cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 20:35

Rosenkohl

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Kannst du mir vielleich aufschreiben wie die ableitung jetzt genau ist, ich weiss es einfach nicht.

Ich dachte ich nehme den konstanten faktor -q² x t, womit ich halt die innere funktion der e funktion ableite??

11.05.2011, 20:41

Mulder

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Es steht doch eigentlich schon alles da.

$\begin{eqnarray*} \left ( e^{g(t)} \right )' = g'(t) \cdot e^{g(t)} \end{eqnarray*}$

In unserem Fall ist

$\begin{eqnarray*} g(t)=-q^2 \cdot t \end{eqnarray*}$

Bilde g'. Dann nur noch Einsetzen. Der Rest war ja schon richtig.

11.05.2011, 20:47

Rosenkohl

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Klausur
ahhhhhh, -q² also

$\begin{eqnarray*} q² \times e^{-q^{2} t} + t \times (-q²) \times e^{-q²t} \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 20:50

Mulder

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RE: Klausur

Zitat:

Original von Rosenkohl
$\begin{eqnarray*} q² \times e^{-q^{2} t} + t \times (-q²) \times e^{-q²t} \end{eqnarray*}$

Nicht ganz, aber das könnte jetzt auch ein Tippfehler sein. Ganz am Anfang das q², wo kommt das her? Bei der e-Funktion passt das jetzt aber.

17.05.2011, 00:53

koenigslilie

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zur 1 aufgabe
es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_-^- \! 0,5\times \left(e^{x} - e^{-x} \right) \, dx = \int_-^- \! \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \end{eqnarray*}$

da der cosinus der realteil der efunktino ist ( ich spar mir jetzt den beweis ^^)

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