Exponential einer Matrix

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11.05.2011, 19:15	gast_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponential einer Matrix Hallo, gibt es irgendwo eine Anleitung, die relativ einfach erklärt, wie ich das Exponential einer Matrix bestimmen kann? Ich muss - per Hand - für eine Hausübung das Exponential einer 3x3 und meheren 2x2 Matrizen bestimmen aber ich habe absolut keine Ahnung, wie ich das machen soll. Am besten wäre natürlich auch ein Beispiel, wo ich mir die einzelnen Schritte mal anschauen kann..
11.05.2011, 19:50	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es sehr schöne Beispiele - und sehr ekelige. Gib mal am besten deine Matrizen an. Schön sind die, wenn sie diagonal sind oder diagonalisierbar. Am besten sind nilpotente Matrizen.
11.05.2011, 20:07	gast_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Matrix im Rahmen einer linearen Differentialgleichung (Anfangswertproblem wurde als Tipp genannt. Es geht prinzipiell um den Abfluss von irgendwelchen Seen.. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 2 & -5 & 3 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ----------- $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A+B = \begin{pmatrix}1 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ An A und B soll ich zeigen, dass bei nicht kommutativen Matrizen $\begin{eqnarray} exp(A+B) \neq exp(A) exp(B) \end{eqnarray*}$ ist. Die Nichtkommutativitiät haben wir schon in der VL gehabt, aber die könnte ich im Zweifel mühelos nachrechnen.
11.05.2011, 20:31	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann guck erst mal hier, leider ist deine Matrix meiner Meinung nach nicht so schön. Da brauchst du die Jordansche Normalform (die ich in meiner Unikarriere nie mit Basis berechnen musste - die brauchst du aber für die Übergangsmatrizen).
11.05.2011, 20:40	gast:mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann muss ich mir das mal in aller Ruhe durchlesen und versuchen, es zu verstehen - was ist mit den anderen 3 kleinen Matrizen? Kann ich die irgendwie "effizienter" berechnen oder "darf" ich auch den Weg über die JNF gehen?
11.05.2011, 20:44	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, die ersten beiden, A und B, kannst du streng nach der Definition machen. Die Matrizen ergeben immer sich selbst beim Potenzieren ...
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11.05.2011, 21:04	gast_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, wäre die erste dann.. $\begin{eqnarray} exp(A) =\begin{pmatrix} e & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei der 2. gilt doch.. $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Naja, danke schon mal so weit
11.05.2011, 21:20	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, also exp(A) würde ich anders sehen. Bei B bin ich gerade auch ratlos - ich geb hiermit mal den Thread frei, mögen kundigere Leser sich äußern. Edit: Quatsch, A ist doch eine Diagonalmatrix, deswegen hast du recht.
11.05.2011, 23:14	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu B. $\begin{eqnarray} <br /> B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ D.h. $\begin{eqnarray} B^n = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \text{ für ungerade n } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ für gerade n } \end{eqnarray}$ Setze das in $\begin{eqnarray} exp(B)=\sum_n \frac {1}{n!}B^n=\sum_n \frac {1}{(2n)!}B^{2n}+\sum_n \frac {1}{(2n+1)!}B^{2n+1} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} exp(B)=\sum_n \frac {1}{(2n)!}I+\sum_n \frac {1}{(2n+1)!}B=\cosh(1)I+\sinh(1)B = \begin{pmatrix} cosh(1) & sinh(1) \\ sinh(1) & cosh(1) \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$
11.05.2011, 23:38	gast_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schonmal. Werde das auf jeden Fall noch genauer nachvollziehen müssen, aber hier scheint der Trick ja in dem Beispiel jetzt nicht weiter als in einer geschickten Zerlegung + der Reihendarstellung von cosh und sinh gelegen zu haben oder hab ich da noch etwas wichtiges vergessen?
12.05.2011, 20:48	gast_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin noch nicht viel weiter mit der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bisher weiß ich nur, dass die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_i = -\frac{1}{2} \pm \sqrt\frac{{5}}{4} \end{eqnarray}$ sind und das die Matrix sehr eng mit Fibonacci zusammenhängt - das war aber nicht die Aufgabenstellung, aber $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erinnert sehr stark daran.

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