Rand kartesisches Produkt

11.05.2011, 19:20

Bladawin

Rand kartesisches Produkt

Nabend,

folgende Aufgabe plagt mich schon seit gestern. Komme auf keinen wirklichen Ansatz, haben bisher nur die Definition des Randes.

Seien $\begin{eqnarray*} A \subset M, B \subset N \end{eqnarray*}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray*} (M \times N, d_{M \times N}) \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \partial (A \times B) = (\partial A \times B) \cup (A \times \partial B) \cup (\partial A \times \partial B) \end{eqnarray*}$

Habe natürlich daran gedacht, die beiden Inklusionen zu zeigen. Aber ich komme auf keinen grünen Zweig.

11.05.2011, 22:37

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rand kartesisches Produkt
Hallo,

der Rand ist gleich dem Abschluß minus dem Inneren. Lässt sich damit was machen?

Grüße Abakus smile

11.05.2011, 22:48

Bladawin

Auf diesen Beitrag antworten »

Das $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ macht mir irgendwie Probleme...

Hab schon überall die Def. des Randes eingesetzt, z.B.

$\begin{eqnarray*} \overline{A\times B} \setminus \stackrel{o}{(A\times B)} \end{eqnarray*}$ , aber ich kann damit nichts anfangen... darf man das einfach nach unten ziehen? Also $\begin{eqnarray*} \overline{A\times B} \setminus \stackrel{o}{(A\times B)} = (\overline{A}\times \overline{B}) \setminus (\stackrel{o}{A} \times \stackrel{o}{B}) \end{eqnarray*}$ ?

Ich denke nämlich nicht, dass das gilt. Und auch sonst sehe ich irgendwie bei der Aufgabe sehr wenige Möglichkeiten, was ich machen könnte. Umso größer ist wohl das Brett vorm Schädel...

Danke schon mal.

11.05.2011, 23:14

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bladawin
Hab schon überall die Def. des Randes eingesetzt, z.B.

$\begin{eqnarray*} \overline{A\times B} \setminus \stackrel{o}{(A\times B)} \end{eqnarray*}$ , ...

Eine Patentlösung hab ich im Moment auch nicht. Vielleicht hier einfach mal anfangen und schauen:

Sei $\begin{eqnarray*} x = (y, z) \in \overline{A\times B} \setminus (A \times B)^{o} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt gibt es in $\begin{eqnarray*} A \times B \end{eqnarray*}$ eine Folge, die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert, und davon könnten wir dann die Komponentenfolgen betrachten usw.

Hattet ihr das mit der Folge schon, dass es solche Folgen geben muss?

Grüße Abakus smile

11.05.2011, 23:20

Bladawin

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, noch nicht... wir haben gerade erst den Rand definiert. Ich mache mir mal weiter dazu Gedanken. Trotzdem Danke.

11.05.2011, 23:27

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bladawin
Nein, noch nicht... wir haben gerade erst den Rand definiert.

Wie ist eure Definition dazu?

Die Folge gibt es, weil das x im Abschluß einer Menge liegt: das hat also nicht unbedingt schon etwas mit dem Rand zu tun.

Grüße Abakus smile

11.05.2011, 23:35

Bladawin

Auf diesen Beitrag antworten »

So wie du es meintest:
Abschluss ohne Inneres.

11.05.2011, 23:54

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Abakus
Sei $\begin{eqnarray*} x = (y, z) \in \overline{A\times B} \setminus (A \times B)^{o} \end{eqnarray*}$ .

Ggf. bietet sich hier eine Fallunterscheidung an:

- $\begin{eqnarray*} y \in A, z \in B \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} y \in \overline A, z \in B \end{eqnarray*}$

usw.

Grüße Abakus smile

12.05.2011, 00:30

Bladawin

Auf diesen Beitrag antworten »

Konnte es (denk ich) lösen... obwohl es nicht hübsch ist... Big Laugh

egal ^^ bedanke mich bei dir!!! Freude

Neue Frage »

Antworten »

Rand kartesisches Produkt

Verwandte Themen