Verzwickte Dreiecksgleichung

11.05.2011, 23:48

Abiszett

Verzwickte Dreiecksgleichung

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben.

Momentan arbeite ich an einem Seminarvortrag, wo es um ungewöhnliche Eigenschaften von Dreiecken geht. Unter Anderem liegt der Schwerpunkt der Dreieckslinien genau dann auf dem Rand des Inkreises, wenn im Dreieck die Seitenlängenverhältnisse 1/a + 1/b + 1/c = 10/(a+b+c) gelten. Diese Gleichung muss aus der Gleichung 2(b²c²+c²a²+a²b²)+a³(b+c)+b³(c+a)+c³(a+b)=5abc(a+b+c) gefolgert werden. Leider komme ich auch nach stundenlangem Gerechne und den abstrusesten Umformungen nicht mal in die Nähe des gewünschten Ergebnisses. Vielleicht hat jemand von euch eine Idee? das wäre wirklich super!

Meine Ideen:
Ich habe versucht, die Gleichung umzuformen und habe den Faktor abc wegdividiert. Dann konnte ich durch Umformungen die Gleichung auf die Form (b+c)²/a + (a+c)²/b + (a+b)²/c = 5(a+b+c) bringen. Mich hat es beim Rechnen schon gewundert, dass sich in den Zählern genau die binomischen Formeln ergeben haben. Leider stehe ich jetzt in einer Sackgasse, da ich nicht weiß, wie ich die quadratischen Terme eliminieren soll. Mein Kopf qualmt jedenfalls ganz schön.^^

12.05.2011, 01:19

riwe

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RE: Verzwickte Dreiecksgleichung

Zitat:

Original von Abiszett
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben.

Momentan arbeite ich an einem Seminarvortrag, wo es um ungewöhnliche Eigenschaften von Dreiecken geht. Unter Anderem liegt der Schwerpunkt der Dreieckslinien genau dann auf dem Rand des Inkreises, wenn im Dreieck die Seitenlängenverhältnisse 1/a + 1/b + 1/c = 10/(a+b+c) gelten. Diese Gleichung muss aus der Gleichung 2(b²c²+c²a²+a²b²)+a³(b+c)+b³(c+a)+c³(a+b)=5abc(a+b+c) gefolgert werden. Leider komme ich auch nach stundenlangem Gerechne und den abstrusesten Umformungen nicht mal in die Nähe des gewünschten Ergebnisses. Vielleicht hat jemand von euch eine Idee? das wäre wirklich super!

was verstehe ich da falsch verwirrt

oder ist es einfach zu spät verwirrt

$\begin{eqnarray*} a=b=1\to c=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

12.05.2011, 06:33

Abiszett

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Hallo. Kann es sein, dass du den Schwerpunkt des Dreiecks mit dem Schwerpunkt der Dreieckslinien verwechselst? Diese sind nämlich nicht identisch. Der Schwerpunkt der Dreieckslinien ist der Schwerpunkt, wenn man sich das Dreieck "innen hohl" vorstellt, es sozusagen nur aus einem Drahtgitter besteht. Er ist mit dem Spieker-Punkt identisch und liegt auf dem Inkreismittelpunkt des zugehörigen Innendreiecks. Habe selbst mehrere Dreiecke gezeichnet, die die Vorgabe erfüllen und bei denen haut es hin. :-)

Habe an der Rechnung noch bis in die tiefe Nacht gebüffelt, aber bin immer noch nicht weiter gekommen. :-(

12.05.2011, 08:04

Leopold

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Du kannst faktorisieren:

$\begin{eqnarray*} 2 \left( b^2 c^2 + c^2 a^2 + a^2 b^2 \right) + a^3 (b+c) + b^3 (c+a) + c^3 (a+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (a+b+c) \left( ab^2 + a^2 b + bc^2 + b^2 c + ca^2 + c^2 a - 2abc \right) \end{eqnarray*}$

Damit kannst du dich in der Gleichung vom überflüssigen Faktor $\begin{eqnarray*} a+b+c \end{eqnarray*}$ trennen. Der Rest ist Routine: Forme die Behauptung äquivalent um.

Zur andern Sache: Der Eckenschwerpunkt des Dreiecks liegt dann und nur dann auf dem Inkreis, wenn

$\begin{eqnarray*} 5 \left( a^2 + b^2 + c^2 \right) = 6 \left( ab + bc + ca \right) \end{eqnarray*}$

gilt. Ein Beispiel ist $\begin{eqnarray*} a=10, \, b=5, \, c=13 \end{eqnarray*}$ (siehe Zeichnung).

[attach]19582[/attach]

12.05.2011, 16:34

Abiszett

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Vielen herzlichen Dank an Leopold! Mit deiner Hilfe hab ich es endlich geschafft. Augenzwinkern

Ich frage mich nur, welche Tricks es so beim Faktorisieren gibt, oder ob man einfach nur ein gutes Gespür und/oder viel Geduld braucht? Denn bei so langen Termen finde ich es nicht gerade einfach, eine Faktorisierung zu finden. :-D

Im weiteren Verlauf meines Themas wird auch bestimmt, bei welchen Streckenverhältnissen der Nagel-Punkt auf dem Inkreisrand liegt. Und da wird sogar ein zweizeiliger Term mit grad 4 faktorisiert... grausam.

Aber immerhin nimmt es der Autor mit Humor. Frei zitiert: "Nach stundenlangem, mühseligen, fehlerträchtigen Rechnen, kommt man auf das wirklich wohlverdiente Ergebnis..." :-D

Vielen Dank nochmal! Wink

12.05.2011, 16:45

René Gruber

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Zitat:

Original von Abiszett
Ich frage mich nur, welche Tricks es so beim Faktorisieren gibt, oder ob man einfach nur ein gutes Gespür und/oder viel Geduld braucht?

Ein CAS kann auch hilfreich sein: Es kommt zwar nicht unbedingt selbst auf die Faktorisierung, aber man kann z.B. Hypothesen wie

"Ist von $\begin{eqnarray*} 2 \left( b^2 c^2 + c^2 a^2 + a^2 b^2 \right) + a^3 (b+c) + b^3 (c+a) + c^3 (a+b) \end{eqnarray*}$ ggfs. der Faktor $\begin{eqnarray*} (a+b+c) \end{eqnarray*}$ abtrennbar?"

ganz gut und schnell überprüfen. Augenzwinkern

12.05.2011, 17:12

Huggy

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Mathematica:

12.05.2011, 17:30

Abiszett

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Ja, danke für den Tipp. Werde mal schauen, ob MuPad mir in der Uni weiterhilft. Im weiteren Verlauf kommen nämlich Gleichungen vom Kaliber

s(s+a-b-c)(s-a+b-c)(s-a-b+c) wo s = (a+b+c)/2. Das muss einmal aus der Gleichung

[(s-a)+(s-b)+(s-c)] * [-(s-a)+(s-b)+(s-c)] * [(s-a)-(s-b)+(s-c)] * [(s-a)+(s-b)-(s-c)]

gefolgert werden und dann in die Gleichung

(3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)

überführt werden. Da wird mir vermutlich auch MuPad nicht weiterhelfen können. Ich werde im Vortrag dann einfach sagen: "Nach viiiiiel Rechnen". Denn bis man das alles zusammengewurstet hat, hat man sich totgerechnet. LOL Hammer

Jetzt lasse ich das Seminarthema aber mal ruhen und widme mich wieder der Codierungstheorie zu (*würg*)

12.05.2011, 18:33

Leopold

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Ich habe die Faktorisierung mit Hilfe eines CAS gefunden. René Gruber scheint dies erahnt zu haben. Allerdings habe ich nicht brutal "Faktorisiere, Mathematica!" gerufen, sondern bin mit mehr Noblesse vorgegangen. Augenzwinkern

Ich habe den gesamten Ausdruck als Polynom $\begin{eqnarray*} p(c) \end{eqnarray*}$ über dem Polynom-Ring $\begin{eqnarray*} R = \mathbb{R}[a,b] \end{eqnarray*}$ aufgefaßt:

$\begin{eqnarray*} p(c) = 2 \left( b^2 c^2 + c^2 a^2 + a^2 b^2 \right) + a^3 (b+c) + b^3 (c+a) + c^3 (a+b) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich $\begin{eqnarray*} p(-a-b) \end{eqnarray*}$ berechnen lassen, letztlich also $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} -a-b \end{eqnarray*}$ substituiert, was 0 lieferte. Damit war klar, daß $\begin{eqnarray*} -a-b \in R \end{eqnarray*}$ Nullstelle des Polynoms ist, mithin sich der Linearfaktor $\begin{eqnarray*} c - (-a-b) = a+b+c \end{eqnarray*}$ abspalten läßt. Dann habe ich mit einer Mischung aus Überlegen und zielgerichtetem Probieren die Faktorisierung ermittelt, ähnlich wie bei einer Polynomdivision mit einer Variablen durch fortwährende Subtraktion von Produkten mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} a+b+c \end{eqnarray*}$ , so daß Ausdrücke mit höheren Potenzen wegfallen. Als am Schluß nichts mehr übrig blieb, war die Faktorisierung gefunden.

Und die Umformung des neuen Terms geht auch von Hand recht schnell. Betrachte den zweiten Faktor

$\begin{eqnarray*} -(s-a)+(s-b)+(s-c) = s + a - b - c = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c + a - b - c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{3}{2} a - \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} c = \frac{1}{2} \left( 3a - b - c \right) \end{eqnarray*}$

Und da der dritte und vierte Faktor zyklisch aus dem zweiten entstehen, lauten sie vereinfacht

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( 3b - c - a \right) \, , \ \frac{1}{2} \left( 3c - a - b \right) \end{eqnarray*}$

Die drei letzen Faktoren liefern also das Produkt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \left( 3a - b - c \right) \left( 3b - c - a \right) \left( 3c - a - b \right) \end{eqnarray*}$

War das wirklich so schlimm?

12.05.2011, 19:47

Abiszett

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Wow, vielen Dank für die zahlreichen Tipps und Erklärungen.

Bezüglich der Vereinfachung der letzten Gleichung:

Den Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}(3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b) \end{eqnarray*}$ ist wirklich einfach zu gewinnen. Ich wollte natürlich wieder mit roher Gewalt da rangehen, da in meinem Kopf, aus welchen Gründen auch immer, das Ausmultiplizieren immer ganz vorne steht. Vereinfache ich jedoch den ersten Faktor, so ergibt das $\begin{eqnarray*} 3s-a-b-c = s \end{eqnarray*}$ . Ich hatte irgendwie gehofft, es würde 8 rauskommen, denn dann würde mein Term, den ich gewinnen möchte, genau da stehen. Oder habe ich im Moment ein großes Brett vor dem Kopf? verwirrt

Zitat:

[...]ähnlich wie bei einer Polynomdivision mit einer Variablen durch fortwährende Subtraktion von Produkten mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} a+b+c \end{eqnarray*}$ , so daß Ausdrücke mit höheren Potenzen wegfallen.

Das konnte ich leider nicht ganz nachvollziehen. Und ein Polynomring der Form

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R = \mathbb{R}[a,b] \end{eqnarray*}$

ist mir (bis jetzt) in meinem Studium (2. Semester) bisher auch noch nicht über den Weg gelaufen. Aber das würde jetzt wohl auch zu weit führen.

Kann aber schon jetzt gar nicht laut genug Danke für die Hilfe sagen! smile

12.05.2011, 21:50

abiszett

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Obwohl, wenn ich recht darüber nachdenke:

Anhand dieser Terme soll herausgefunden werden, bei welchen Dreiecken der Nagel-Punkt auf dem Inkreisrand liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Gleichung

$\begin{eqnarray*} ((s-a)+(s-b)+(s-c))*(-(s-a)+(s-b)+(s-c))*((s-a)-(s-b)+(s-c))*((s-a)+(s-b)-(s-c))=0 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist. (Diese ergibt sich übrigens durch Einsetzen der baryzentrischen Koordinaten des Spieker-Punkts in die baryzentrische Kreisgleichung des Inkreises, die mir nicht mal mein Professor erklären kann.^^)

Die Umformungen liefern ja [latex]\frac{s}{8}(3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)=0[latex]. Man kann den ersten Faktor natürlich ignorieren bzw. wegdividieren, da er immer ungleich 0 ist. Daraus folgt dann, dass der Nagel-Punkt genau dann auf dem Inkreisrand liegt, wenn sich das Dreifache der Länge der einen Seite als Summe der beiden anderen Seiten ergibt.

Ich stand mir nur irgendwie mal wieder selbst im Weg.
Aber jetzt bin ich glücklich und zufrieden und kann endlich wieder ruhig schlafen! Big Laugh

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