Affiner Unterraum, senkrecht

12.05.2011, 12:31

Mondstaub

Auf diesen Beitrag antworten »

Affiner Unterraum, senkrecht

Def:
Sei V ein Vektorraum und U ein Unterraum von V.
Der affine Unterraum durch v zu U ist: $\begin{eqnarray*} v+U = \{v+u | u \in U \} \end{eqnarray*}$

Sei nun V ein euklidischer Vektorraum und W ein affiner Unterraum von V. Sei $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} ||w|| \leq ||u|| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u \in W \end{eqnarray*}$ gilt.

Zeigen Sie nun, dass w senkrecht zu W steht, also dass $\begin{eqnarray*} <w,u_1 - u_2> = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \in W \end{eqnarray*}$ gilt.

Erstens habe ich zunächst eine Frage. Mich verwirrt die Aussage, dass "w senkrecht zu W steht". Also, dass ein Element eines Vektorraumes senkrecht zu dem Vektorraum selbst steht...oder verstehe ich das komplett falsch? Gibt es dazu noch mehr zu sagen, als $\begin{eqnarray*} <w,u_1 - u_2> = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \in W \end{eqnarray*}$ ?

Und zweitens der Ansatz zur Lösung der Aufgabe:

Muss man dabei mit der gegebenen Gleichung beginnen und dann entsprechend umformen, bis man bei $\begin{eqnarray*} <w,u_1 - u_2> = 0 \end{eqnarray*}$ angelangt ist?

Also $\begin{eqnarray*} <w,u_1 - u_2> = ... \end{eqnarray*}$ ?

Welche Gesetze/Definitionen benötigt man denn, um die entsprechenden Umformungen zu tätigen? Mir fällt nicht ein, wie ich da anfangen könnte.

Danke im Voraus.

12.05.2011, 20:06

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Affiner Unterraum, senkrecht
Hallo Mondstaub,

Zitat:

Zeigen Sie nun, dass w senkrecht zu W steht, also dass $\begin{eqnarray*} <w,u_1 - u_2> = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \in W \end{eqnarray*}$ gilt.

Du kannst Dir überlegen, dass $\begin{eqnarray*} \{u_1-u_2|u_i\in W\}=U \end{eqnarray*}$ ist. Dann siehst Du auch, dass "w senkrecht auf U" gemeint ist.

Zur Lösung:
Nimm Dir einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} w+\alpha\cdot u\in W \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \|w\|\leq \|w+\alpha u\| \end{eqnarray*}$ .

Versuche nun, das umzuformen. Irgendwann wirst Du durch geschickte Wahl des $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zeigen können, dass $\begin{eqnarray*} \langle u,w\rangle=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß,
Reksilat.

13.05.2011, 14:36

Mondstaub

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat,

danke für den Ansatz.

Die Umformungsmöglichkeiten die man hat, sind folgende:

$\begin{eqnarray*} ||\lambda v|| = |\lambda| \cdot ||v|| \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} ||v|| = \sqrt{<v,v>} \end{eqnarray*}$

Deshalb habe ich zunächst mal die letztere Eigenschaft verwendet und die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \|w\|\leq \|w+\alpha u\| \end{eqnarray*}$ so umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{<w,w>} \leq \sqrt{<w+\alpha u, w+\alpha u>} \end{eqnarray*}$

Aber damit komme ich nicht weiter...die einzige Möglichkeit da weiterzukommen, wäre ja quadrieren, also $\begin{eqnarray*} <w,w> \leq <w+\alpha u, w+\alpha u> \end{eqnarray*}$ .

Mein anderer Ansatz war dieser:

Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} ||w|| \leq || w+\alpha u || \leq ||w|| + ||\alpha u|| \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} ||w|| \leq ||w|| + ||\alpha u|| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||w|| \leq || w||+|\alpha| \cdot ||u|| \end{eqnarray*}$

Aber mein Ziel ist ja folgender Ausdruck $\begin{eqnarray*} \langle u,w\rangle=0 \end{eqnarray*}$ . Dafür müsste ich zuerst $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ in eine Norm bekommen...das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist mir da ja quasi "im Weg".

Ich meine, du hast zwar geschrieben, dass man das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ geschickt wählen muss, aber du meinst damit ja sicherlich nicht einen bestimmten Wert für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ - es muss ja beliebig sein.

Nochmals danke. smile

smile

13.05.2011, 16:30

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ||w|| \leq || w||+|\alpha| \cdot ||u|| \end{eqnarray*}$

Die Dreiecksungleichung hilft hier leider nicht viel. Diese erhaltene Abschätzung gilt schließlich immer

Zitat:

Aber damit komme ich nicht weiter...die einzige Möglichkeit da weiterzukommen, wäre ja quadrieren, also $\begin{eqnarray*} <w,w> \leq <w+\alpha u, w+\alpha u> \end{eqnarray*}$ .

Ja, damit kann man weitermachen. Wenn es um Skalarprodukte geht, kommt eigentlich fast immer etwas, wo man die Linearität ausnutzen muss. Das Skalarprodukt auf der rechten Seite der Ungleichung kann man auseinanderziehen.

Zitat:

Ich meine, du hast zwar geschrieben, dass man das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ geschickt wählen muss, aber du meinst damit ja sicherlich nicht einen bestimmten Wert für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ - es muss ja beliebig sein.

Doch genau das meine ich. Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \|w\|\leq\|w+\alpha u\ \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Also auch für ein konkret festgelegtes $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Wie Du das geschickt wählen kannst, wirst Du aber erst sehen, wenn Du den obigen Schritt vollzogen hast.

13.05.2011, 17:18

Mondstaub

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq <w+\alpha u, w+\alpha u> \end{eqnarray*}$ .

Ich habe dann zunächst mal $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ rausgezogen:

$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq \alpha ^2 <w+u, w+ u> \end{eqnarray*}$ , das müsste wegen der Linearität ja passen.

Auseinanderziehen:

$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq \alpha ^2 (<w+u, w> + <w+u, u>) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq \alpha ^2 (<w,w>+ <w,u> + <w,u>+<u,u>) \end{eqnarray*}$

Oder hätte ich das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht rausziehen sollen?

Dann wäre das:

$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq <w+\alpha u, w> + <w+ \alpha u, u> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq <w,w> + <\alpha u, w> + <w,u> + <\alpha u, u> \end{eqnarray*}$

Aber an dieser Stelle stecke ich wieder fest.

$\begin{eqnarray*} ||w|| \leq ||w|| + \alpha<u, w> + <w,u> + \alpha|| u|| \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

13.05.2011, 21:50

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich habe dann zunächst mal $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ rausgezogen:
$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq \alpha ^2 <w+u, w+ u> \end{eqnarray*}$ , das müsste wegen der Linearität ja passen.

Passt aber nicht. unglücklich

unglücklich

Schau Dir die Definition eines Skalarprodukts genauer an.

Zitat:

Oder hätte ich das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht rausziehen sollen?
$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq <w+\alpha u, w> + <w+ \alpha u, u> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq <w,w> + <\alpha u, w> + <w,u> + <\alpha u, u> \end{eqnarray*}$

Du hast hinten ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ vergessen. Folgendes muss rauskommen:
$\begin{eqnarray*} <w,w> \leq <w,w> + <\alpha u, w> + <w,\alpha u> + <\alpha u, \alpha u> \end{eqnarray*}$

Hier kannst Du ja - wie Du das auch richtig erkannt hast - das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ rausziehen. Dass $\begin{eqnarray*} \|w\| \end{eqnarray*}$ hebt sich weg. Außerdem ist das Skalarprodukt symmetrisch, da kannst Du noch was zusammenfassen.

Am Ende hast Du eine Ungleichung, in der nur noch zwei größere Terme auftreten. Dann kannst Du versuchen, das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ festzulegen.

Anzeige

13.05.2011, 22:06

Kimi_R

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke an Reksilat, sitze momentan wohl nämlich am gleichen Übungsblatt wie der Threadersteller

Was mich zum einen verwirrt ist, dass du ein paar mal U erwähnt hast. Ich dachte der dient hier nur zur Definition eines affinen Unterraumes. Täusche ich mich da oder hast du dich verschrieben?

Außerdem ist mir nicht ganz klar, wo genau hier die Affinität einfließt. Wären alle euren bisherige Schritte nicht auch mit einem "gewöhnlichen" Unterraum möglich gewesen?

Hab jedenfalls mal versucht eure bisherigen Ergebnisse nachzuvollziehen und hab jetzt

$\begin{eqnarray*} <w,w> \quad \leq \quad <w,w> + \; 2 \alpha <u,w> + \alpha^2<u,u> \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} 0 \; \leq \ 2\alpha<u,w>+\alpha^2<u,u> \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} -2\alpha<u,w> \; \leq \; \alpha^2<u,u> \end{eqnarray*}$

14.05.2011, 12:47

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kimi_R
Was mich zum einen verwirrt ist, dass du ein paar mal U erwähnt hast. Ich dachte der dient hier nur zur Definition eines affinen Unterraumes. Täusche ich mich da oder hast du dich verschrieben?

Außerdem ist mir nicht ganz klar, wo genau hier die Affinität einfließt. Wären alle euren bisherige Schritte nicht auch mit einem "gewöhnlichen" Unterraum möglich gewesen?

Dass es sich um einen affinen Unterraum handelt, ist essentiell und der Kern dieser Aufgabe. Bisher hat alles damit zu tun.
Das U ist auch kein Schreibfehler. Wenn Du es an irgendeiner Stelle deplaziere findest, dann sag bitte wo und stelle eine konkrete Frage. Ich habe schon einiges dazu geschrieben und will nicht alles einfach so noch mal aufschreiben.

Zitat:

Hab jedenfalls mal versucht eure bisherigen Ergebnisse nachzuvollziehen und hab jetzt
$\begin{eqnarray*} -2\alpha<u,w> \; \leq \; \alpha^2<u,u> \end{eqnarray*}$

Das stimmt. Jetzt kommt es darauf an, das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ geschickt zu wählen.

Gruß,
Reksilat.

14.05.2011, 13:02

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
ich hab das gleiche blatt :-)
also, ich versteh nicht so ganz, zu welchem ziel das führen soll, denn ich soll ja zeigen, dass <w,u_1-u_2> =0 ist, und hier taucht nur ein einziges u auf, demnach stell ich mir auch die frage, wie ich dann alpha wählen soll...?

14.05.2011, 13:06

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Affiner Unterraum, senkrecht

Zitat:

Original von Reksilat
Du kannst Dir überlegen, dass $\begin{eqnarray*} \{u_1-u_2|u_i\in W\}=U \end{eqnarray*}$ ist. Dann siehst Du auch, dass "w senkrecht auf U" gemeint ist.

Das ist der Grund für den Weg, den ich hier vorgeschlagen habe. Und deshalb taucht auch nur ein $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ auf.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2011, 13:29

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Affiner Unterraum, senkrecht
ahja, ok.
gut das hab ich jetz auch kappiert, aber wie kann ich bitte von einer ungleichung zu einer gleichung kommen... also wenn ich alpha wähle, dann bleibt ja immer noch eine ungleichung übrig, es sei denn alpha is null aber davon gehn wir hoffentlich net aus... würd außerdem ja auch net gehn...
also konkret, bei mir siehts jetz so aus : <u,w> größergleich (alpha^2)/-2alpha <u,u>
wie soll das ne gleichung werden?

14.05.2011, 15:17

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Affiner Unterraum, senkrecht
Na wenn Du am Ende so was wie $\begin{eqnarray*} 2x^2\leq x^2 \end{eqnarray*}$ hast, dann folgt daraus auch direkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , da es keine andere Möglichkeit für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt.
Ähnlich kann man hier $\begin{eqnarray*} \langle u,w\rangle=0 \end{eqnarray*}$ folgern.

15.05.2011, 14:50

Kimi_R

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Affiner Unterraum, senkrecht

Zitat:

Original von Reksilat
Hallo Mondstaub,

Zitat:

Zeigen Sie nun, dass w senkrecht zu W steht, also dass $\begin{eqnarray*} <w,u_1 - u_2> = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \in W \end{eqnarray*}$ gilt.

Du kannst Dir überlegen, dass $\begin{eqnarray*} \{u_1-u_2|u_i\in W\}=U \end{eqnarray*}$ ist. Dann siehst Du auch, dass "w senkrecht auf U" gemeint ist.

Zur Lösung:
Nimm Dir einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} w+\alpha\cdot u\in W \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \|w\|\leq \|w+\alpha u\| \end{eqnarray*}$ .

Versuche nun, das umzuformen. Irgendwann wirst Du durch geschickte Wahl des $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zeigen können, dass $\begin{eqnarray*} \langle u,w\rangle=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß,
Reksilat.

So, hoffe du hast noch Geduld mit uns/mir Reksilat Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meine Frage, ob es sich mit dem U um ein Schreibfehler handelt, bezieht sich auf das hier. Denn die Aufgabenstellung ist ja, zu zeigen, dass unser w aus W senkrecht zu W selber steht und nicht senkrecht zu U

Überhaupt ist mir nicht ganz klar, welche Rolle der Unterraum U hier spielen soll. Ich hab die Aufgabe so verstanden. Wir haben (lediglich)

- Einen euklidischen Vektorraum V
- Einen affinen Unterraum W von V, d.h. es gibt ein v aus V und eine Menge
$\begin{eqnarray*} v + W = \left\{v+u: u \in W\right\} \end{eqnarray*}$
- Es gibt ein w aus W mit
$\begin{eqnarray*} ||w|| \leq ||u|| \ \forall \ u \in W \end{eqnarray*}$

Und damit soll man zeigen, dass w senkrecht zu W steht, also
$\begin{eqnarray*} <w, u_{1} - u_{2}> = 0 \ \forall u_{1}, u_{2} \in W \end{eqnarray*}$

das heißt nach meinem Verständis spielt der Unterraum U für diese Aufgabe keine Rolle. Da du dir in deinen Ausführungen sicher zu sein scheinst, heißt das für mich, dass ich die Aufgabenstellung nicht richtig verstanden habe. Jedoch seh ich nicht, was ich übersehen beziehungsweise missverstanden habe

15.05.2011, 14:54

Mondstaub

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also, hier hat sich ja einiges getan. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der letzte Stand der Dinge ist also:

$\begin{eqnarray*} -2\alpha<u,w> \; \leq \; \alpha^2<u,u> \end{eqnarray*}$

Für z.B. $\begin{eqnarray*} \alpha = -1 \end{eqnarray*}$ ist dann:

$\begin{eqnarray*} 2<u,w> \; \leq \; <u,u> \end{eqnarray*}$

Für mich ist allerdings nicht ganz ersichtlich, ob sich daraus jetzt schon zwingend ergibt, dass $\begin{eqnarray*} \langle u,w\rangle=0 \end{eqnarray*}$ gilt (falls $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ überhaupt passend gewählt wurde).
Zumal auf den beiden Seiten der Gleichungen ja unterschiedliche Skalarprodukte stehen (also nicht analog zu deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} 2x^2\leq x^2 \end{eqnarray*}$ ).
Über $\begin{eqnarray*} <u,u> \end{eqnarray*}$ weiß man ja einiges mehr; also, dass $\begin{eqnarray*} <u,u> \end{eqnarray*}$ nichtnegativ ist, und dass $\begin{eqnarray*} <u,u> \end{eqnarray*}$ genau dann $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ ist...aber das scheint hier für mich nicht gewinnbringend zu sein.

15.05.2011, 15:07

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Affiner Unterraum, senkrecht
@Kimi:
Ich kann nur mit dem arbeiten, was Mondstaub im ersten Thread geschrieben hat. Die Aufgabenstellung erscheint mir da aber sinnvoll, im Gegensatz zu:

Zitat:

Original von Kimi_R
Ich hab die Aufgabe so verstanden. Wir haben (lediglich)

- Einen euklidischen Vektorraum V
- Einen affinen Unterraum W von V, d.h. es gibt ein v aus V und eine Menge
$\begin{eqnarray*} v + W = \left\{v+u: u \in W\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist ein affiner Unterraum und daher gibt es ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ und einen (linearen) Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} W=v+U \end{eqnarray*}$ .
Versuche Dir bitte die Idee hinter einem affinen Unterraum zu verdeutlichen. Zum Beispiel mittels Lehrbüchern, Wiki, Google-Suche,... Dann wirst Du auch sehen, welche Bedeutung hier der Unterraum U hat.

Wenn in der Originalaufgabenstellung kein U vorkommt, dann kann ich das nicht wissen. Letztlich gehört zu einem affinen Unterraum aber eben immer so ein linearer Unterraum U und insofern ist es sinnvoll, diesen zu betrachten.
_______________________

@Mondstaub:
Die Wahl $\begin{eqnarray*} \alpha=-1 \end{eqnarray*}$ ist hier demnach nicht passend. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du willst ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \langle w,u\rangle=0 \end{eqnarray*}$ ist. Da dies für $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ trivialerweise erfüllt ist, kannst Du annehmen, dass $\begin{eqnarray*} u\neq 0 \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} \langle u,u\rangle\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Versuch mal Dein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auch in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \langle u,u\rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle w,u\rangle \end{eqnarray*}$ zu wählen.

Gruß,
Reksilat.

15.05.2011, 20:52

tmili

Auf diesen Beitrag antworten »

offenburg
bis jetzt kann ich alles nachvollziehen, aber mein problem ist nun auch die wahl von alpha...bis jetzt habe ich ja eine ungleichung und will eine gleichung rausbekommen..wie geht so was??

15.05.2011, 21:50

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu habe ich zum Beispiel gestern 15:17 Uhr was geschrieben. Dort steht, wie man aus einer Ungleichung eine Gleichung folgern kann und sogar recht genau auf diese Aufgabe angepasst.

Gruß,
Reksilat.

16.05.2011, 09:35

tmili

Auf diesen Beitrag antworten »

ungleichung -> gleichung
oh sorry dass hab ich wohl zu schnell überflogen..
das klingt ja ganz logisch aber so ganz voranbringen tuts mich leider noch nicht...
man kann ja nicht einfach davon ausgehen dass alpha eine negative zahl ist oder?
also das ist alles ein bisschen verkorkst...
ich hab nämlich angenommen dass alpha negativ ist ohne alpha gewählt zu haben und habe dann durch alpha geteilt wohin sich das zeichen umgedreht hat :
-2<u,w> >= \alpha <u,u>
und hier könnte man dann das alpha so wählen : \alpha = - <u,w>/<u,u> woraufhin folgen würde:
-2<u,w> >= - <u,w>
dann geteilt durch -1
und dann würde sich das zeichen wieder umdrehen und schwupps könnte man hier die erwünschte gleichung folgern..
ist das richtig oder geht da was nicht?
vielen dank für die antwort!!

16.05.2011, 10:21

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ungleichung -> gleichung

Zitat:

und hier könnte man dann das alpha so wählen : $\begin{eqnarray*} \alpha = - <u,w>/<u,u> \end{eqnarray*}$

Wenn Du Dein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ so wählst, kannst Du wirklich nicht davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ negativ/positiv ist, da Du ja nichts über $\begin{eqnarray*} \langle u,w\rangle \end{eqnarray*}$ weißt. Aber Du kannst dieses $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ja mal direkt in die ursprüngliche Ungleichung $\begin{eqnarray*} -2\alpha\langle u,w\rangle \; \leq \; \alpha^2\langle u,u\rangle \end{eqnarray*}$ einsetzen, dann sparst Du Dir eine Fallunterscheidung und siehst trotzdem gleich die Lösung.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

PS: Wenn Du Deine Formeln in die [latex]-Tags setzt, kann man sie gleich viel besser lesen. Schau dazu auf den Link in meiner Signatur.

16.05.2011, 22:12

tmili

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen lieben dank für deine unterstützung!!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »