Eigenwerte/Eigenvektoren einer Matrix

12.05.2011, 15:51

tribe

Eigenwerte/Eigenvektoren einer Matrix

Hallo, ich würde mich über Hilfe bei folgendem Beispiel freuen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \alpha _1 & \beta & 0 \\ \beta & \alpha _2 & \beta \\ 0 & \beta & \alpha _1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechne Eigenwerte und Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} (\beta \neq0) \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------------------------------------------------

Zuerst setze ich $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}A-\lambda E\end{vmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \alpha _1 & \beta & 0 \\ \beta & \alpha _2 & \beta \\ 0 & \beta & \alpha _1 \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Durch auflösen der Determinante mit der Regel von Sarrus erhalte ich die charakteristische Gleichung

$\begin{eqnarray*} (\alpha_1-\lambda )(\alpha_2-\lambda )(\alpha_1-\lambda )-\beta ^2 (\alpha_1-\lambda )-(\alpha_1-\lambda )\beta ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\alpha_1-\lambda )[(\alpha_2-\lambda )(\alpha_1-\lambda )-2\beta ^2 ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\alpha_1-\lambda )[\alpha _1\alpha _2-\alpha _1\lambda -\alpha _2\lambda+ \lambda ^2-2\beta ^2] \end{eqnarray*}$

Aufgrund der ersten Klammer ist eine Lösung der Gleichung und somit Eigenwert: $\begin{eqnarray*} \lambda _1=\alpha _1 \end{eqnarray*}$

Leider Habe ich nun Probleme den Inhalt der eckigen Klammer auf $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ umzuformen und somit einen weiteren Eigenwert zu erhalten. Wie geh ich das am besten an?

Würde mich über jeden Tip freuen smile

lg Tribe

12.05.2011, 16:03

Rmn

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RE: Eigenwerte/Eigenvektoren einer Matrix
Fasse $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zusammen, das ist eine einfache quadratische Gleichung, die man mit p,q-Formel lösen kann.

14.05.2011, 12:27

tribe

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Ach ja

$\begin{eqnarray*} \lambda ^2-(\alpha _1+\alpha _2)\lambda+\alpha _1\alpha _2-2\beta ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda _{1,2} =\frac{\alpha _1 +\alpha _2}{2}\pm \sqrt{\frac{(\alpha _1 +\alpha _2)^2}{4}-\alpha _1 \alpha _2 +2\beta ^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda _{1,2} =\frac{\alpha _1 +\alpha _2}{2}\pm \sqrt{\frac{\alpha _1^2 +2\alpha _1\alpha _2 +\alpha _2^2 -4\alpha _1 \alpha _2 +8\beta ^2 }{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda _{1,2} =\frac{\alpha _1 +\alpha _2}{2}\pm \sqrt{\frac{\alpha _1^2 -2\alpha _1\alpha _2 +\alpha _2^2 +8\beta ^2 }{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda _{1,2} =\frac{1}{2} \left[\alpha_1 +\alpha _2 \pm \sqrt{(\alpha _1 -\alpha _2)^2 +8\beta ^2} \right] \end{eqnarray*}$

So nun habe ich drei Eigenwerte, weil eine 3x3 Matrix eben drei hat !?

Nun kann ich die Eigenvektoren berechnen.

14.05.2011, 12:54

tribe

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$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \alpha _1 & \beta & 0 \\ \beta & \alpha _2 & \beta \\ 0 & \beta & \alpha _1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnung des Eigenvektors $\begin{eqnarray*} x_1, [\alpha _1 =0] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & \beta & 0 \\ \beta & \alpha _2 & \beta \\ 0 & \beta & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta x_1+\alpha _2x_2+\beta x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2=0 \end{eqnarray*}$

Aus der zweiten Gleichung bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \beta x_1+\beta x_3=0 \end{eqnarray*}$

Also ist jeder $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ wert der negative $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ Wert und umgekehrt. Ist das so weil alle vielfachen des Eigenvektors auch Eigenvektor sind?

Ist also die Antwort

$\begin{eqnarray*} x_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

genauso richtig wie zB

$\begin{eqnarray*} x_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

14.05.2011, 13:07

tribe

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Nun weis ich nichtmehr weiter verwirrt

Wie mache ich mir aus der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda _{2,3} =\frac{1}{2} \left[\alpha_1 +\alpha _2 \pm \sqrt{(\alpha _1 -\alpha _2)^2 +8\beta ^2} \right] \end{eqnarray*}$

nun ein Gleichungssystem zur berechnung der Eigenvektoren?

14.05.2011, 13:51

tribe

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Ok ich setz nicht den ganzen Term ein sondern schreibe nur mal $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda_2 E)x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \alpha _1-\lambda_2 & \beta & 0 \\ \beta & \alpha _2-\lambda_2 & \beta \\ 0 & \beta & \alpha _1-\lambda_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\alpha _1-\lambda_2)x_1+\beta x_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta x_1+(\alpha _2-\lambda_2)x_2+\beta x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta x_2+(\alpha _1-\lambda_2)x_3=0 \end{eqnarray*}$

So, nun hab ich aber wirklich keinen Plan mehr wie ich da weiterkommen soll traurig

14.05.2011, 21:04

Rmn

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RE: Eigenwerte/Eigenvektoren einer Matrix

Zitat:

Original von tribe
Zuerst setze ich $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}A-\lambda E\end{vmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \alpha _1 & \beta & 0 \\ \beta & \alpha _2 & \beta \\ 0 & \beta & \alpha _1 \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

1) Du meinst wohl:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \alpha _1-\lambda & \beta & 0 \\ \beta & \alpha _2-\lambda & \beta \\ 0 & \beta & \alpha _1-\lambda \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

2) Du hast $\begin{eqnarray*} (A-\lambda E)x =0 \end{eqnarray*}$ als Matrixgleichung, ausgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha _1-\lambda & \beta & 0 \\ \beta & \alpha _2-\lambda & \beta \\ 0 & \beta & \alpha _1-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
Hier setzt du ein Eigenwert ein und suchst nach Lösungen. Es gibt unendlich viele Lösungen, sie bilden einen Vektorraum. Wenn ein Eigenwert nicht entartet ist(nicht mehrfach vorkommt), kannst du einen beliebigen Vektor aus diesem Vektorraum nehmen, das ist dann dein Eigenvektor.(Jedes vielfache davon ist selbstverständlich auch ein Eigenvektor :huhu smile

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\alpha _1-\lambda_2)x_1+\beta x_2=0<br /> \beta x_1+(\alpha _2-\lambda_2)x_2+\beta x_3=0<br /> \beta x_2+(\alpha _1-\lambda_2)x_3=0 \end{eqnarray*}$

Schau dir genauer 1. und 3. Gleichung an, daraus kannst du schon den Zusammenhang zwischen x1 und x3 ablesen. Dann muss du eine dieser Gleichungen(z.b. erste) nach x2 auflösen und das wars.

14.05.2011, 21:58

tribe

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Vielen Dank für deine wirklich ausführliche Erklärung smile

ad.1) Ja richtig.
ad.2) Verstehe ich jetzt.

ad.3)

$\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac{(\alpha _1-\lambda_2)x_1}{\beta} \end{eqnarray*}$

in dritte Gleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} -\beta \frac{(\alpha _1-\lambda_2)x_1}{\beta} +(\alpha _1-\lambda_2)x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta (\alpha _1-\lambda_2)x_1 = \beta(\alpha _1-\lambda_2)x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=x_3 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nun nicht ganz was ich mit der Aussage nun anfangen kann? Ich weis zwar dass x1 und x2 gleich sind, aber welchen "wert" sie nun habn weis ich nicht??

schönes Wochenende noch smile

15.05.2011, 04:23

Rmn

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Zitat:

Ich verstehe nun nicht ganz was ich mit der Aussage nun anfangen kann? Ich weis zwar dass x1 und x2 gleich sind, aber welchen "wert" sie nun habn weis ich nicht??
schönes Wochenende noch smile

Wenn sie einen festen Wert hätten, dann hättest du falsch gerechnet. (Was heißt es denn, wenn die Determinante einer Matrix einer LGS Null ist? Kann sie eine Lösung besitzen?)

Wähle ein Paramenter z.B. t=x1, dann
$\begin{eqnarray*} <br /> x_1=t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-\frac{(\alpha_1-\lambda)}{\beta}t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} t \\ -\frac{(\alpha_1-\lambda)}{\beta}t \\ t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{(\alpha_1-\lambda)}{\beta} \\ 1 \end{pmatrix}t \end{eqnarray*}$
ist ein Vektorraum, wo jeder Vektor ein Eigenvektor zu dem entsprechenden Eigenwert ist.
z.B. einer für t=1:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{(\alpha_1-\lambda)}{\beta} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.05.2011, 20:01

tribe

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Herzlichen Dank Freude

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