2 uneigentliche integrale

12.05.2011, 17:16	Matheersti	Auf diesen Beitrag antworten »
2 uneigentliche integrale Meine Frage: Hey soll zeigen ob die beiden folgenden Integrale existieren oder auch nicht: $\begin{eqnarray} \int_\frac{1}{\pi } ^\infty \! \frac{1}{x}\sin(\frac{1}{x} ) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^\pi \!\frac{1}{x}\sin(\frac{1}{x} ) \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: denk eher dass beide nicht existieren.. zum sin(1/x) gibts ja auch keine Stammfunktion oder? also hab irgwie so gut wie alles probiert cauchy-kriterium, partielle integration, auch substitution aber komm leider einfach nicht auf einen ordentlichen beweis:-( wäre um jeden tipp dankbar! liebe grüße
12.05.2011, 20:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst in beiden Integralen $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{t} \end{eqnarray}$ substituieren. Zunächst rein formal erhältst du dann bei der ersten Aufgabe $\begin{eqnarray} \int_{\frac{1}{\pi}}^{\infty} \frac{1}{x} \sin \left( \frac{1}{x} \right) \dd x = \int_0^{\pi} \frac{\sin t}{t}~\dd t \end{eqnarray}$ "Rein formal" heißt, daß entweder beide Integrale divergieren oder mit demselben Wert konvergieren. Jetzt schau dir das rechte Integral an. Was erkennst du über das Verhalten des Integranden bei $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ ? Und bei der zweiten Aufgabe läuft es auf $\begin{eqnarray} \int_{\frac{1}{\pi}}^{\infty} \frac{\sin t}{t}~\dd t \end{eqnarray}$ hinaus. Vielleicht habt ihr dieses Integral in der Vorlesung bereits behandelt.
12.05.2011, 21:18	Matheersti	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau die substitution hab ich auch gemacht und du hast sogar recht wir haben in der vorlesung gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! \frac{\sin(x) }{x} \, dx \end{eqnarray}$ existiert und damit ja auch das 2 integral oder? Es ist $\begin{eqnarray} \lim_{t\to 0} \frac{\sin(t) }{t} = 1 \end{eqnarray}$ gilt mit L'Hospital oder wie meinst du das genau? vielen dank und liebe grüße
12.05.2011, 21:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\sin t}{t} \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ mit Wert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ stetig ergänzbar. Das sieht man sehr leicht mit der Potenzreihe für den Sinus, von mir aus auch mit L'Hospital. Das Integral ist also im engeren Sinne gar nicht uneigentlich.
12.05.2011, 22:03	Matheersti	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok das macht Sinn.. vielen dank! Reicht es dann zu argumentieren, dass das Integral nicht uneigentlich ist und damit existiert?! oder kann man auch sagen das integral ist ja dann somit beschränkt und auch stetig und damit ja riemann-integrierbar? danke lg

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