Verteilungsfunktion - ja oder nein?

12.05.2011, 18:57

Gast11022013

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Verteilungsfunktion - ja oder nein?

Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} F,G,F_1,F_2,F_3,\hdots \end{eqnarray*}$ Verteilungsfunktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Welche der folgenden Funktionen sind ebenfalls Verteilungsfunktionen?
Begründen Sie Ihre Aussage mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel.

(1) $\begin{eqnarray*} F\cdot G \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} F+G \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} 2F-G \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} \exp \left\{(F-1)/F\right\} \end{eqnarray*}$
(5) $\begin{eqnarray*} \sum_{k\geq 1} p_kF_k \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} p_k\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle k und $\begin{eqnarray*} \sum_{k\geq 1} p_k=1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo, meine erste Frage ist:

Kann man zum Nachweis, dass es sich um eine Verteilungsfunktion handelt (oder nicht), die drei Eigenschaften verwenden, die eine Verteilungsfunktionen charakterisieren:

(I.) monoton wachsend
(II.) Rechtsstetigkeit
(III.) $\begin{eqnarray*} \lim_{c\to -\infty} F(c)=0 \wedge \lim_{c\to \infty} F(c)=1 \end{eqnarray*}$ ?

Ich würde das jetzt auf gut Glück einfach mal für (1) machen:

(I.) $\begin{eqnarray*} (F\cdot G)(x)=F(x)\cdot G(x)\leq F(x+h)\cdot G(x+h)=(F\cdot G)(x+h) \end{eqnarray*}$

(II.) Die (Rechts-)stetigkeit bleibt bei Multiplikation zweier (rechts-)stetiger Funktionen erhalten - hoffe ich zumindest. [Bei Stetigkeit weiß ich, dass es so ist, bei Rechts- oder Linksstetigkeit hingegen nicht.]

(III.) Gilt offensichtlich.

Wäre das eine legitime Vorgehensweise um zu beweisen, dass FG [meiner Meninung nach] auch eine Verteilungsfunktion ist?

12.05.2011, 19:07

Hitschler

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Ja, die Rechtsstetigkeit bleibt erhalten, ist aber auch leicht zu zeigen. smile

smile

Ansonsten ist das das richtige Vorgehen

12.05.2011, 19:18

Gast11022013

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Dann würde ich sagen:

(1) ist eine Verteilungsfunktion (s. Beweis oben)
(2) ist keine, da Eigenschaft (III.) nicht gilt.
(3) ist eine, weil alle Eigenschaften gelten.

Stimmt das? [Ich würde die Eigenschaften natürlich noch schriftlich nachweisen.]

Bei (4) verstehe ich die Schreibweise nicht:

$\begin{eqnarray*} \exp\underbrace{\left\{(F-1)/F\right\}}_{=?} \end{eqnarray*}$

12.05.2011, 19:41

Hitschler

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3. dürfte nicht klappen, ein minuszeichen sollte bei monotonie doch stutzig machen smile

smile

12.05.2011, 19:49

Gast11022013

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Auch auf die Gefahr hin, dass ich (mal wieder) als Depp dastehe:

Wieso?

$\begin{eqnarray*} 2F(x)-G(x)\leq 2F(x+h)-G(x+h) \end{eqnarray*}$ ...

verwirrt

verwirrt

12.05.2011, 19:56

René Gruber

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Die Konstrunktion eines Gegenbeispiels ist hier derart simpel, dass es schon sträflich ist, keins zu finden:

Sei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion der Konstante 0 und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die der Konstante 1, d.h.

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x<0 \\ 1 & \;\mbox{für}\; x\geq 0 \end{cases}, \qquad G(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x<1 \\ 1 & \;\mbox{für}\; x\geq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie groß ist jetzt $\begin{eqnarray*} 2F(0)-G(0) \end{eqnarray*}$ ?

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12.05.2011, 20:26

Gast11022013

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Ich bin dann wohl ein Straftäter. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 2F(0)-G(0)=2 \end{eqnarray*}$

Damit kann es sich nicht um eine Verteilungsfunktion handeln, da diese abbildet nach [0,1].

Korrekt?

12.05.2011, 21:56

Gast11022013

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Gibts noch einen Tipp oder eine Erklärung zu (4) und (5)?

12.05.2011, 22:24

Hitschler

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Sofern keine weiteren Annahmen getroffen werden, ist 4) nicht immer wohldefiniert und damit keine verteilungsfunktion, mit sinnvollen Annahmen ist's aber eine

bei 5) musst du auch nur die definition durchgehen

eigentlich sind das aber alles Ana1-Definitionen, die Du nur nachrechnen musst Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.05.2011, 22:29

Gast11022013

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eigentlich...

verwirrt

verwirrt

Was bedeutet denn aber diese komische Mengenschreibweise bei (4)?

12.05.2011, 23:09

Hitschler

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gar nichts, ersetz sie einfach durch [...] oder (...) Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.05.2011, 23:11

Hitschler

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Edit: das macht man manchmal, wenn einem die Klammern ausgehen und man Übersicht haben will, was hier offenbar nur Verwirrung stiftet unglücklich

unglücklich

12.05.2011, 23:50

Gast11022013

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Zu (4):

$\begin{eqnarray*} \exp((F-1)/F) \end{eqnarray*}$

Habe ich das jetzt korrekt verstanden, dass dies keine Verteilungsfunktion sein kann, weil im Nenner F steht und dieser ja nicht Null sein darf?

Wenn man aber jetzt wie oben eine Verteilungsfunktion F hat, die den Wert 0 annimmt, z.B. für alle x kleiner 1, so wäre das ein Gegenbeispiel?

Mit anderen Worten: Eine Verteilungsfunktion F kann ja Wert von 0 bis 1 annehmen (eine Verteilungsfunktion konvergiert gegen 0 bzw. 1, aber kann diese Werte ja auch ganz konkret annehmen) und deswegen findet man ein beliebiges Gegenbeispiel immer dann, wenn eine Verteilungsfunktion F irgendwo den Wert 0 annimmt.

Ich hoffe, ich liege wenigstens ein bisschen richtig. verwirrt

verwirrt

13.05.2011, 22:46

Hitschler

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Ja, das hast du richtig verstanden Freude

Freude

13.05.2011, 23:35

Gast11022013

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Wenigstens etwas.

Bleibt "nur noch" (5.).

21.08.2011, 17:37

Gast11022013

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RE: Verteilungsfunktion - ja oder nein?
Woher weiß man eigentlich, ob man hier eine Verteilungsfunktion bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes oder bezüglich einer Zufallsvariablen meint?

Edit:

Da in der Aufgabenstellung steht, dass das Verteilungsfunktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein sollen, ist das wohl bzgl. irgendeines W.-Maßes P gemeint, also im folgenden Sinn:

$\begin{eqnarray*} F_P:c\to [0,1], c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

21.08.2011, 17:54

Gast11022013

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RE: Verteilungsfunktion - ja oder nein?
Meine letzte Frage habe ich mir diesmal hoffentlich selbst richtig beantwortet. Big Laugh

Big Laugh

22.08.2011, 02:54

Ravvy

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Zitat:

Original von Dennis2010
Wenigstens etwas.

Bleibt "nur noch" (5.).

Bei welcher Eigenschaft hängt es bei dieser?

Tipp: Es gibt mathematische Eigenschaften die invariant unter Linearkombinationen (also Additionen und Multiplikationen) sind.

22.08.2011, 12:47

Gast11022013

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Achja, (5) fehlt ja noch.

Dies ist m.E. eine Verteilungsfunktion.

Die $\begin{eqnarray*} F_k \end{eqnarray*}$ sind ja nach Voraussetzung Verteilungsfunktionen und wenn ich nun die Eigenschaften (1) bis (3) durchgehe, so sehe ich diese auch alle für (5) erfüllt.

22.08.2011, 14:19

Ravvy

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Zitat:

Original von Dennis2010
Achja, (5) fehlt ja noch.

Dies ist m.E. eine Verteilungsfunktion.

Die $\begin{eqnarray*} F_k \end{eqnarray*}$ sind ja nach Voraussetzung Verteilungsfunktionen und wenn ich nun die Eigenschaften (1) bis (3) durchgehe, so sehe ich diese auch alle für (5) erfüllt.

Richtig, dann kann ich dich an dieser Stelle noch nebenbei darauf hinweisen, dass es sich hierbei um den wichtigen Sonderfall einer Mischverteilung handelt smile

smile

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