Verteilungsfunktion - ja oder nein?

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion - ja oder nein?
Meine Frage:
Es seien Verteilungsfunktionen auf .
Welche der folgenden Funktionen sind ebenfalls Verteilungsfunktionen?
Begründen Sie Ihre Aussage mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel.

(1)
(2)
(3)
(4)
(5) falls für alle k und

Meine Ideen:
Hallo, meine erste Frage ist:

Kann man zum Nachweis, dass es sich um eine Verteilungsfunktion handelt (oder nicht), die drei Eigenschaften verwenden, die eine Verteilungsfunktionen charakterisieren:

(I.) monoton wachsend
(II.) Rechtsstetigkeit
(III.) ?

Ich würde das jetzt auf gut Glück einfach mal für (1) machen:

(I.)

(II.) Die (Rechts-)stetigkeit bleibt bei Multiplikation zweier (rechts-)stetiger Funktionen erhalten - hoffe ich zumindest. [Bei Stetigkeit weiß ich, dass es so ist, bei Rechts- oder Linksstetigkeit hingegen nicht.]

(III.) Gilt offensichtlich.


Wäre das eine legitime Vorgehensweise um zu beweisen, dass FG [meiner Meninung nach] auch eine Verteilungsfunktion ist?
Hitschler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Rechtsstetigkeit bleibt erhalten, ist aber auch leicht zu zeigen. smile
Ansonsten ist das das richtige Vorgehen
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde ich sagen:

(1) ist eine Verteilungsfunktion (s. Beweis oben)
(2) ist keine, da Eigenschaft (III.) nicht gilt.
(3) ist eine, weil alle Eigenschaften gelten.

Stimmt das? [Ich würde die Eigenschaften natürlich noch schriftlich nachweisen.]


Bei (4) verstehe ich die Schreibweise nicht:

Hitschler Auf diesen Beitrag antworten »

3. dürfte nicht klappen, ein minuszeichen sollte bei monotonie doch stutzig machen smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch auf die Gefahr hin, dass ich (mal wieder) als Depp dastehe:

Wieso?

...

verwirrt
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konstrunktion eines Gegenbeispiels ist hier derart simpel, dass es schon sträflich ist, keins zu finden:

Sei die Verteilungsfunktion der Konstante 0 und die der Konstante 1, d.h.



Wie groß ist jetzt ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin dann wohl ein Straftäter. Big Laugh



Damit kann es sich nicht um eine Verteilungsfunktion handeln, da diese abbildet nach [0,1].

Korrekt?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibts noch einen Tipp oder eine Erklärung zu (4) und (5)?
Hitschler Auf diesen Beitrag antworten »

Sofern keine weiteren Annahmen getroffen werden, ist 4) nicht immer wohldefiniert und damit keine verteilungsfunktion, mit sinnvollen Annahmen ist's aber eine

bei 5) musst du auch nur die definition durchgehen

eigentlich sind das aber alles Ana1-Definitionen, die Du nur nachrechnen musst Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich...

verwirrt


Was bedeutet denn aber diese komische Mengenschreibweise bei (4)?
Hitschler Auf diesen Beitrag antworten »

gar nichts, ersetz sie einfach durch [...] oder (...) Augenzwinkern
Hitschler Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: das macht man manchmal, wenn einem die Klammern ausgehen und man Übersicht haben will, was hier offenbar nur Verwirrung stiftet unglücklich
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (4):



Habe ich das jetzt korrekt verstanden, dass dies keine Verteilungsfunktion sein kann, weil im Nenner F steht und dieser ja nicht Null sein darf?

Wenn man aber jetzt wie oben eine Verteilungsfunktion F hat, die den Wert 0 annimmt, z.B. für alle x kleiner 1, so wäre das ein Gegenbeispiel?

Mit anderen Worten: Eine Verteilungsfunktion F kann ja Wert von 0 bis 1 annehmen (eine Verteilungsfunktion konvergiert gegen 0 bzw. 1, aber kann diese Werte ja auch ganz konkret annehmen) und deswegen findet man ein beliebiges Gegenbeispiel immer dann, wenn eine Verteilungsfunktion F irgendwo den Wert 0 annimmt.


Ich hoffe, ich liege wenigstens ein bisschen richtig. verwirrt
Hitschler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hast du richtig verstanden Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenigstens etwas.

Bleibt "nur noch" (5.).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion - ja oder nein?
Woher weiß man eigentlich, ob man hier eine Verteilungsfunktion bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes oder bezüglich einer Zufallsvariablen meint?


Edit:

Da in der Aufgabenstellung steht, dass das Verteilungsfunktionen auf sein sollen, ist das wohl bzgl. irgendeines W.-Maßes P gemeint, also im folgenden Sinn:

.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion - ja oder nein?
Meine letzte Frage habe ich mir diesmal hoffentlich selbst richtig beantwortet. Big Laugh
Ravvy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Wenigstens etwas.

Bleibt "nur noch" (5.).

Bei welcher Eigenschaft hängt es bei dieser?

Tipp: Es gibt mathematische Eigenschaften die invariant unter Linearkombinationen (also Additionen und Multiplikationen) sind.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, (5) fehlt ja noch.

Dies ist m.E. eine Verteilungsfunktion.

Die sind ja nach Voraussetzung Verteilungsfunktionen und wenn ich nun die Eigenschaften (1) bis (3) durchgehe, so sehe ich diese auch alle für (5) erfüllt.
Ravvy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Achja, (5) fehlt ja noch.

Dies ist m.E. eine Verteilungsfunktion.

Die sind ja nach Voraussetzung Verteilungsfunktionen und wenn ich nun die Eigenschaften (1) bis (3) durchgehe, so sehe ich diese auch alle für (5) erfüllt.

Richtig, dann kann ich dich an dieser Stelle noch nebenbei darauf hinweisen, dass es sich hierbei um den wichtigen Sonderfall einer Mischverteilung handelt smile
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