Beweis einer "Variante" der expliziten Darstellung der m-ten Fibonacci- Zahl

12.05.2011, 18:57

Fibbo

Beweis einer "Variante" der expliziten Darstellung der m-ten Fibonacci- Zahl

Meine Frage:
Es soll per Induktion gezeigt werden, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} F_{m} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{m} + \frac{1}{2} (abgerundet) \end{eqnarray*}$

(ich weis leider nicht wie man diese "abrunden"-Striche macht)
Der I.A. ist kein Problem für m=1 und m=2, der I.S. jedoch bereitet mir Probleme...

Meine Ideen:
Mein Ansatz für den I.S. also für m=m+1 sieht folgendermaßen aus:

da $\begin{eqnarray*} F_{m} = F_{m-1} + F_{m-2} \end{eqnarray*}$
folgt $\begin{eqnarray*} F_{m+1} = F_{m} + F_{m-1} \end{eqnarray*}$
also ist

$\begin{eqnarray*} F_{m+1} = \frac{1}{\sqrt{5} } \left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{m} + \frac{1}{2} (abger.) + \frac{1}{\sqrt{5} } \left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{m+1} + \frac{1}{2} (abger.) \end{eqnarray*}$

ich dachte ich kann die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ addieren, und weiter den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5} } \end{eqnarray*}$ ausklammern ergibt:

$\begin{eqnarray*} F_{m+1} = \frac{1}{\sqrt{5} }\left( \left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{m} + \left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{m+1}\right) + 1 (abger.) \end{eqnarray*}$

also kann mir nun jemand sagen, ob es soweit richtig ist, und wenn ja wie es weiter geht???

Würde mich freuen wenn mir jemand hilft!
Und schonmal Danke im Vorraus ;-)

12.05.2011, 19:43

René Gruber

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Ich würde einen anderen Weg empfehlen: Beweise zunächst die Binetformel

$\begin{eqnarray*} F_m = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^m - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^m \right) \end{eqnarray*}$

(vielleicht habt ihr das ja schon), dann ist es nämlich hinreichend für deine Behauptung, schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^m \right| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, was nicht allzu schwer ist. Augenzwinkern

12.05.2011, 20:57

Fibbo

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Nach dieser Empfehlung habe ich das Problem wie folgt gelöst:

(1) Die Binetformel im Induktions-Schritt:

$\begin{eqnarray*} \phi := \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi := \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{n+1} = f_n + f_{n-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\psi^n + \phi^{n-1} - \psi^{n-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{n-1}(\phi+1) - \psi^{n-1}(\psi +1) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi+1=\phi^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi +1=\psi ^{2} \end{eqnarray*}$ gibt, nach dem Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{n+1} - \psi^{n+1}) \end{eqnarray*}$

(2) Jetzt noch die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^m \right| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kürzen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ , gibt:

$\begin{eqnarray*} \left|\left(\frac{1}{2} \right)^{m} \right|<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

entspricht das in etwa dem Lösungsweg, der gemeint war???

13.05.2011, 08:02

René Gruber

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Zitat:

Original von Fibbo
Kürzen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ , gibt:

$\begin{eqnarray*} \left|\left(\frac{1}{2} \right)^{m} \right|<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Was, bitte, ist das für eine Kürzungsregel, die dich auf diese Zeile führt??? geschockt

13.05.2011, 15:48

Fibbo

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OMG, da habe ich aber einen ziemlich großen Bock geschossen...
war wohl etwas zu voreilig.

Aber leider weis ich auch nicht mehr weiter, da ich doch die linke Seite der Ungleichung nicht ausmultiplizieren kann, da würde ich doch ein Potenzgesetz verletzen, oder???

Ansonsten käme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \left|\left(1-\sqrt{5} \right)^{m} \right| < \sqrt{5} \;\;\Box \end{eqnarray*}$

nachdem ich die ausmultipliziere und mal dem Nenner, $\begin{eqnarray*} \left(2*\sqrt{5} \right) \end{eqnarray*}$ nehme?!

bräuchte noch einen weiteren Tipp wenns geht... unglücklich

13.05.2011, 16:15

René Gruber

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Es genügt schlicht und einfach zu erkennen, dass für die Zahl $\begin{eqnarray*} q = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618 \end{eqnarray*}$ die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ gilt. Damit ist auch $\begin{eqnarray*} |q^m| = |q|^m \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\geq 0 \end{eqnarray*}$ , und folglich

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{\sqrt{5}} q^m \right| \leq \frac{1}{\sqrt{5}} < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

13.05.2011, 17:11

Fibbo

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OK, das ist tatsächlich nicht allzu schwer.

Ich bin allerdings mal auf die "Musterlösung" gespannt die wir in der Uni vorgelegt bekommen...

Vielen Dank für deine Hilfe! Gott

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