Vollständige Induktion

12.05.2011, 20:34

Tenor

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Vollständige Induktion

Gegen sei die Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N_{0} } \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} a_{0} =0;a_{n+1} =\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie durch vollständige Induktion: $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n} \in (0,1) \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} a_{0} =0 \in (0,1) \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt: Es sei $\begin{eqnarray*} (a_{n})\leq 1 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} a_{n+1} =\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\leq1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

12.05.2011, 20:40

Helferlein

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Beachte, dass es sich um das offene Intervall handelt (sonst wären es eckige klammern), daher ist der Induktionsanfang und auch der Schluss - so wie er da steht - falsch.

12.05.2011, 20:44

Tenor

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Zitat:

Original von Helferlein
Beachte, dass es sich um das offene Intervall handelt (sonst wären es eckige klammern), daher ist der Induktionsanfang und auch der Schluss - so wie er da steht - falsch.

Versteh ich nicht ganz, die Folge nimmt doch nur Werte zwischen 0 und 1 an, oder nicht?

12.05.2011, 20:55

Helferlein

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$\begin{eqnarray*} a_0=0 \not \in (0;1) \end{eqnarray*}$

Im Induktionsschritt zeigst Du nur, dass $\begin{eqnarray*} a_n\leq1 \end{eqnarray*}$ , aber Du müsstest zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 0<a_n<1 \end{eqnarray*}$

12.05.2011, 21:10

Tenor

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RE: Vollständige Induktion
Gut, aber was soll ich denn dann als Induktionsanfang nehmen?

12.05.2011, 21:16

Helferlein

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Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ? böse

böse

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12.05.2011, 21:27

Tenor

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Neuer Versuch:

Zeigen Sie durch vollständige Induktion: $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n} \in (0,1) \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} a_{1} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt: Es sei $\begin{eqnarray*} 0<a_n<1 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} 0<\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{2}<1 \end{eqnarray*}$ multipliziert mit 2 ergibt
$\begin{eqnarray*} 0<a_{n}+1<2 \end{eqnarray*}$

Hieraus folgt wiederum:

$\begin{eqnarray*} a_{n}<1 \end{eqnarray*}$

Passt das so?

12.05.2011, 22:21

Helferlein

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Und wo hast Du nun gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} 0<a_{n+1}<1 \end{eqnarray*}$ ?

12.05.2011, 22:50

Tenor

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Letzendlich muss ich doch folgendes beweisen:

$\begin{eqnarray*} 0<\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{2}<1 \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} 0<a_n<1 \end{eqnarray*}$ gilt, ist das doch so schon gezeigt, oder nicht?

12.05.2011, 22:54

Helferlein

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Das stimmt zwar, sollte aber schon begründet werden. Ansonsten könntest Du auch einfach sagen, dass die Aussage trivial ist und keines Beweises bedarf.
Aber dafür wirst Du dann auch keine Punkte bekommen.

12.05.2011, 23:00

Tenor

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Ok

Dann unterscheiden wir 2 Fälle:

$\begin{eqnarray*} 0<\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<a_{n}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1<a_{n} \end{eqnarray*}$

Das stimmt, da $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ stets größer Null.

$\begin{eqnarray*} a_{n}+1<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}<1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt ebenfalls, siehe Definition beim Induktionsschritt. Ist das die richtige mathematische Begründung, ich danke dir sehr für deine Hilfe.

13.05.2011, 00:00

Helferlein

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Also sehr sauber ist das nicht und auch nicht so richtig elegant, aber wenn Du äquivalenzen dazwischen setzt (und Du das auch begründen kannst), ist die Lösung immerhin richtig.

Eleganter ist es, sich Gedanken zu machen, wie Du aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} 0<a_n<1 \end{eqnarray*}$ folgern kannst, dass auch $\begin{eqnarray*} 0<a_{n+1}<1 \end{eqnarray*}$ , was aber über die Definition recht schnell geht.

13.05.2011, 00:07

Tenor

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Meinst du dadurch, dass

$\begin{eqnarray*} a_{n} = 2a_{n+1} -1 \end{eqnarray*}$

kann ist das einfach in $\begin{eqnarray*} 0<a_n<1 \end{eqnarray*}$ einsetzen und beweisen, geht das so?

13.05.2011, 08:39

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Tenor
Induktionsschritt: Es sei $\begin{eqnarray*} (a_{n})\leq 1 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} a_{n+1} =\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\leq1 \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, daß es "<" statt "<=" heißen muß, ist der Beweis für a_n < 1 ok. Jetzt mach das analog für a_n > 0. Ich verstehe nicht, welche Probleme du da hast.

13.05.2011, 23:36

Tenor

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Ich habs jetzt nochmal neu geschrieben:

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} a_{1} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt: Es sei $\begin{eqnarray*} 0<a_n<1 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Beweis a_{n}<1: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} =\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{2}<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}}{2}<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n}<1 \end{eqnarray*}$

Beweis $\begin{eqnarray*} a_{n}>0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} a_{n+1} =\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{2}>0+\frac{1}{2}>0 \end{eqnarray*}$

Passt das nun? Danke für eure Hilfe!

14.05.2011, 20:53

Tenor

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Kann jemand bitte meinen letzten Beitrag ansehen? Bitte.

16.05.2011, 09:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tenor
Passt das nun?

Ja.

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