limes superior, Folgen

10.12.2006, 10:37

baumgsm

limes superior, Folgen

Hallo zusammen,

Beim Versuch das Übungsblatt in Analysis zu lösen, komme ich einfach nicht weiter. Könnte mir bei folgeden Aufgaben jemand helfen?

1.) Es seien (an) und (bn) beschränkte Folgen in R. Zeige

lim sup (an+bn)<= lim sup an + lim sup bn

.

Kann hieraus sogar Gleichheit folgern? Beweis oder Gegenbeispiel).

Ich habe mir nun folgendes gedacht: Setze a:=lim sup an und b:=lim sup bn, sodass lim sup(an +bn)<= a+b. Man nehme nun ein c beliebig, sodass c>a+b. Zu zeigen ist nun, dass limes sup (an + bn)<c. Wie geht man hier aber vor?

2.)2) Es sei (X,d) ein metrischer Raum, X ungleich {leere Menge}.Ferner seien (xn), (yn) (Teilmenge von X) konvergente Folgen, a Element X, M Teilmenge von X und r Element(0,oo). Sind folgende Annahmen richtig oder falsch. Beweise deine Behauptungen

i) diam(Br(a) = 2r
ii) Falls d(m1,m2) < oo fuer alle m1,m2 Element M, so folgt diam M < oo

zu i weiss ich, dass es stimmt, allerdings fehlt mir der Beweis. Ich habe zuerst die Definitionen von Br(a) in die Definition von Diam(x,y) eingesetzt und folgendes erhalten: diam Br(a) = sup{ d(x,y): x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Br(a)}

Weiter erhalte ich mit der Dreiecksungleichung d(x,y)<= d(x,a) + d(y,a) <= 2r. Wie zeige ich aber dass Gleichheit gilt, dass dass die Behauptung in i) stimmt?

vielen Dank für die Mithilfe.

Gruss, simu

10.12.2006, 11:40

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von baumgsm
Wie zeige ich aber dass Gleichheit gilt, dass dass die Behauptung in i) stimmt?

Gar nicht, denn sie gilt i.a. nicht: Nimm doch nur den metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X=[0,1] \end{eqnarray*}$ mit der normalen euklidischen Metrik und betrachte $\begin{eqnarray*} B_{2}(0.5) \end{eqnarray*}$ ...

10.12.2006, 11:45

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch i) ist falsch! Kennst du schon die triviale Metrik auf einer Menge? Für eine beliebige nichtleere Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ kannst du

$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\begin{cases} 1 & \text{für }x\neq y \\ 0 & \text{für }x=y \end{cases} \end{eqnarray*}$

definieren. Für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} \operatorname{diam}B_1(a)=1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mehr als ein Element besitzt.
Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sogar nur von der Form $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} \operatorname{diam}B_r(a)=0 \end{eqnarray*}$

für jedes $\begin{eqnarray*} a\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

edit: Oh, viel zu langsam ...

10.12.2006, 13:07

baumgsm

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,
danke für die raschen Rückmeldungen. Ich bin ein wenig verwirrt, da ich davon ausging, dass die Behauptung stimmt. Denn in der Aufgabe hat es zwei Behauptungen.
i) diam(Br(a))=2r
iii) diam(Br(a)<2r

Also muss man ja nur zeigen, dass eine der beiden Aussagen stimmt, sodass mind. eine falsch ist. In der Übungsstunde hat ein Assistent gesagt, dass nur zu beweisen sei, dass i) stimmt und demnach iii) falsch sein muss. Stimmt also i) mit den Bedingungungen

Zitat:

2) Es sei (X,d) ein metrischer Raum, X ungleich {leere Menge}.Ferner seien (xn), (yn) (Teilmenge von X) konvergente Folgen, a Element X, M Teilmenge von X und r Element(0,oo).

definitv nicht? Oder anders gefragt: Ist in diesem Fall dann iii) richtig?

Sorry für mein Durcheinander.

gruess, simu

10.12.2006, 14:33

jönu

Auf diesen Beitrag antworten »

simu, es stimmen beide nicht... wir waren damit bei der winkelmeier...=) musst einfach für beide ein gegenbeispiel finden. am besten nimmst du für i) $\begin{eqnarray*} X := \mathbb R \end{eqnarray*}$ und für ii) $\begin{eqnarray*} X := \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ... dann das einfachste bespiel finden..

gruss jonas

10.12.2006, 15:24

baumgsm

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo Jönu,

Danke viel Mal für den Hinweis. Mal schauen, ob ich es rauskriege.

no ä guete sunnti,

gruss, simu

Neue Frage »

Antworten »

limes superior, Folgen

Verwandte Themen