Jordannormalform 4x4 Matrix

12.05.2011, 21:02	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordannormalform 4x4 Matrix Meine Frage: Ich soll die Jordannormalform der folgenden Matrix bestimmen: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -6 & -2\\ -3 & 6 & -20 & -7 \\ 0 & 2 & -10 & -4 \\ -3 & -3 & 22 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So ich habe das char. Polynom bestimmt: x^4 - 7x^3 + 18x^2 -20x +8 Die Eigenwerte sind: x1=1 (einmal); x2=2 (dreimal) Ich habe dann auch die Basis der Haupträume bestimmt. Für x1 hat der Raum Dimension 1, für x2 hat der Raum Dimension 3. Die Basis der beiden Räume habe ich zu der Matrix B= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1/4 & -1 & -8/3 & -2/3 \\ -3/4 & 0 & 0 & 1 \\ -1/2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zusammengafasst. Ihr könnt hier ja die Basen der Räume ablesen, der erste Vektor ist die Basis des Hauptraumes für x1=1 und die anderen drei die Basis für x2=2. Ich habe diese Matrix invertiert und dann B^(-1)AB bestimmt was wie folgt aussieht: B^(-1)AB = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 30 & -5 \\ 0 & -4 & -10 & 2 \\ 0 & -4 & -12 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, stimmt das soweit? Sieht doch garnicht so schlecht aus oder? An der Matrix sehe ich, dass eine 1x1 Matrix und eine 3x3 Matrix entsteht. Genau so wie ich einmal Dim=1 für Hauptraum von x1 hatte und Dim=3 für den Hauptraum von x2. Mir ist nicht ganz klar, wie ich jetzt weiter machen muss. Das ist ja noch nicht die Jordannormalform oder? Im Skript steht, dass B^(-1)AB = diag(x1E + N1,...xkE + Nk) ist. Also die 2 Blockmatrizen in meiner Matrix bestehen aus der Summe aus xkE und einer Nilpotenten Matrix. Ich soll nun eine nicht singuläre Matrix T bestimmen, so dass die nilpotente Matrix die Form: Nk= diag(J d1,1 ... J dp,pj) hat. Nun wie sieht diese Form aus?? Also die Nk kann ich ja bestimmen: die erste also N1 ist einfach die Nullmatrix, denn die 1x1 Matrix (1) kann nur durch die Summe mit der 1x1 Matrix (0) gleich (1) bleiben. Die andere Matrix kann ich auch Konstruieren, hierzu muss ich einfach von den Diagonalelementen mein Eigenwert x2 abziehen. Diese Matrix N2 ist nilpotent, bereits N2^2 gibt die Nullmatrix. Ich weiß also wie diese Nk Matrizen aussehen, wie kriege aber jetzt die Jordannormalform hin??? Was muss ich noch machen?? Wie krige ich die Form: Nk = diag(J d1,1 ... J dp,pj) hin. Wie sieht die aus?? Und wie muss ich dann diese Matrizen zusammen führen um die Jordannormalform zu bekommen?? Meine Ideen: danke!!!
12.05.2011, 21:09	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordannormalform 4x4 Matrix Ich weiß auch, dass die Matrizen T und T^(-1), also genauer dass die Multiplikation von T^(-1)NT, die Matrix N in eine ähnliche Matrix mit JORDANBLÖCKEN zum Eigenwert 0 überführt. Ich muss ja nun dieses T erstemal bestimmen. Aber wie sehen die Jordanblöcke denn aus??? Sonst weiß ich ja nicht was ich machen soll. Gibt es deine auch einen Algorithmus wie man die T bestimmt, wenn man weiß wie N aussehen soll??
12.05.2011, 21:18	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordannormalform 4x4 Matrix Ok also ich weiß nun auch wie ein Jordanblock also J d1,1 aussieht. Für den Eigenwert Null hat die Matrix nur Nulleinträge, bis auf die erste obere Nebendiagonale... Aber wie bekomme ich diese Form durch T hin?? Wie kann ein T konstruieren??
13.05.2011, 09:43	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordannormalform 4x4 Matrix Guten morgen, vielleicht weiß heute jemand einen Rat?? Danke

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