Normalgebiet

24.06.2004, 13:22	Atrice	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalgebiet Oh je, oh je, oh je! Wenn man HM hört, sollte man nicht krank werden. Vorallem nicht, wenn's kein Skript gibt und keiner mitschreibt Ich war jetzt ne Woche krank, hab dadurch zwei Vorlesungen verpasst und als ich mir jetzt grade das aktuellen Hausaufgabenblatt angeschaut habe, hab' ich nur Bahnhof verstanden. Leider steht auch in meinem Mathebuch dazu nichts... ------------------------------------------------ Hier ist die Aufgabe: Sei $\begin{align} B \, \subseteq \, \mathbb{R}^3 \end{align}$ ein Normalgebiet mit Volumen $\begin{align} V \, = \, \int \int \int_B \, dx_3 dx_2 dx_1 \end{align}$ . Der Schwerpunkt $\begin{align} (x_1^s, x_2^s, x_3^s) \end{align}$ von B (bei homogener Massenverteilung) ist gegeben durch $\begin{align} x_1^s \, = \, \frac{1}{V} \Bigint \Bigint \Bigint_B x_1 dx_3 dx_2 dx_1, \end{align}$ $\begin{align} x_2^s \, = \, \frac{1}{V} \Bigint \Bigint \Bigint_B x_1 dx_3 dx_2 dx_1, \end{align}$ $\begin{align} x_3^s \, = \, \frac{1}{V} \Bigint \Bigint \Bigint_B x_1 dx_3 dx_2 dx_1 \end{align}$ . Wir betrachten den durch die Koordinatenebene x = 0, y = 0, z = 0 sowie den Ebenen 3x + y = 6 und 6x + 3y +4z = 24 begrenzten räumlichen Bereich B. Zeigen Sie, dass B ein Normalgebiet ist, skizzieren Sie B und berechnen Sie seinen Schwerpunkt. ------------------------------------------------ Ich hab nicht die leiseste Ahnung von da die Rede ist und wie man so eine Aufgabe lösen kann. Ich weiß, es ist viel verlangt, aber kann mir das jemand erklären? Vielen vielen Dank!
26.06.2004, 14:45	alewo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz Hi, sitz grad an der Gleichen aufgabe, ich kann dir nur so wage erklären, was ich in der Vorlesung mitbekomm hab, wie dass zu verstehen ist. Und im Mathe-Stützkurs. Aber ob das Stimmt? Naja, mit dem Normalgebiet ist einfach das Gebiet gemeint, dass wie in der Aufgabenstellung gesagt, durch die Koordinatenachsen und die beiden Funktionen begrenzt wird. Also sprich, ich würde , und werde das gleich, die Schnittpunkte der Funktionen mit den Kordinatenachsen berechnen, dann die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Dann werd ich mir mal nen Achsenkreuz malen, die Punkte eintragen, und hoffen, dass wenn ich diese Skizze gemalt habe, ich einen Körper erkenne, der die eingetragenen Punkte als Eckpunkte hat. Genau dieser Körper ist übrigens das Normalgebiet. Jetzt muss du nur noch dass Volumen des Körpers bestimmen, aber das geht aufgrund der so geschickt gewählten Funktionen sicher nur mit diesem eckeligem Dreifachintegral. Das was bei diesem Dreifachintegral passiert, ist vom Prinzip her ganz simpel, man muss sich einfach nur klar machen, dass wenn man eine Funktion integriert, man seine Dimension um eins erhöht. Also ist klar, dass man bei jedem Integral, zwischen zwei Eckpunten dieses Körpers integrieren muss. (Stell dir Vektoren vor, du gehst von x0 zu x1, von x1 zu x2 und von x2 zu x3 usw...) Dass Schreibt man dann so hin, und rechnet es aus, voila, man hat das Volumen. So nun zu den Schwerpunkten. Mal nen Schwerpunkt ganz simpel erklärt, ich führs mal auf nen Dreieck zurück. so wie ichs interpretiere ist Schwerpunkt ein Körper eine dimensionen kleiner, durch den alle "Körper" gehen, welche ursprungskörper in gleichgroße Stücke zerlegen. Folglich beim Dreieck ist der Schwerpunkt ein Punkt, durch den man eine Verbindungslinie mit einembeliebigen Eckpunkt ziehen kann, und die Fläche der einen Hälfte ist gleich der der anderen. Aber wie man die Schwerpunkte im R^{n} berechnet? Keine Ahnung.
26.06.2004, 15:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
6x+3y+4z=24: Ebene durch die Punkte A(4,0,0), B(0,8,0), C(0,0,6) 3x+y=6: Ebene durch die Punkte D(2,0,0), E(0,6,0) parallel zur z-Achse. Geht man vom Punkt D aus senkrecht nach oben, bis man die Strecke AC trifft, erhält man den Punkt F(2,0,?), geht man vom Punkt E senkrecht nach oben, bis man die Strecke BC trifft, erhält man den Punkt G(0,6,?). Die fehlenden Koordinaten können durch Einsetzen in die Ebenengleichung von ABC bestimmt werden: F(2,0,3), G(0,6,3/2). OABC ist Pyramide mit rechtwinkligem Dreieck OAB als Grundfläche (½·4·8 ) und 6 (=z-Koordinate von C) als Höhe. Volumen kann elementar berechnet werden. DEGFA ist Pyramide mit Trapez DEGF als Grundfläche. Parallele Seiten haben die Längen 3 bzw. 3/2 (z-Koordinaten von F,G). Höhe des Trapezes ist DE und kann mit Pythagoras berechnet werden. Höhe der Pyramide ist der Abstand von A zum Trapez DEGF, diese kann z.B. mit Hilfe der Hesseschen Normalform von DEGF bestimmt werden. Volumen der Pyramide DEGFA kann berechnet werden. EBGA ist Pyramide mit rechtwinkligem Dreieck EBG als Grundfläche (½·2·1,5), Höhe der Pyramide ist die x-Koordinate von A, also 4. Volumen kann elementar berechnet werden. Vol(Normalgebiet) = Vol(OABC) - Vol(DEGFA) - Vol(EBGA) Ich habe (ohne Gewähr) Vol(Normalgebiet) = 32 - 9 - 2 = 21
26.06.2004, 17:30	alewo	Auf diesen Beitrag antworten »
kleiner Fehler der Punkt D ist so wie ich das seh bei (3,0,0)
26.06.2004, 17:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
3·2=6 , 3·3=9 ???
26.06.2004, 19:05	alewo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry LoL, Sorry, wenn man den ganzen Tag rechnet, macht man halt echt dumme Fehler g So, aber ich hab das mit dem Dreifachintegral falsch erklärt. Die Punkte braucht man mehr oder weniger, für die Funktion über der Integriert werden soll. Die Integerationsgrenzen hingegen haben damit nicht viel zu tun. Die Integrationsgrenzen sind mehr oder weniger die Funktionen, die einen von der urprungsdimension zur nächsthöheren führen. Und nicht direkt die Eckpunkte. Also zum Beispiel, die Höhe und der Radius sind gegeben. beim Kegel sind wir ursprünglich 0-Dimensional , wenn wir jetzt das Volumen berechnen wollen, benötigen wir um auf einen Punkt auf der Kreislinie zu kommen (also für die erste Dimension) den Radius, die Integrationsgrenzen der Konstanten Funktion 1 betragen folglich wenn R der Radius ist R und -R. um jetzt eine Dimension zu erhöhen, brauchen wir eine funktion, die uns ausgehend von der Ersten, die nächsthöhere Erzeugt, also Integrieren wir jetzt in den Grenzen von SQR(R^{2}- x1) und -SQR(R^{2}- x1) . In der dritten Dimension, kommt dann die höhe mit ins Spiel, wir intgrieren hier, von der Ebene ausgehen nach oben , also von 0 bis h - frac{h}{R} \cdot SQR{x1^{2}+x2^{2}}. Ich hab jetzt mehr oder weniger das integral in umgekehrter Reihenfolge erklärt, dass heißt ich hab den Kegel über die Drei Dimensionen aufgespannt, um jetzt das Volumen zu erhalten, müssen die Intgralsgrenzen jetzt in umgekehrter Reihenfolge angebracht werden. Klingt komisch, ist aber so. Das ist das Beispiel aus der Vorlesung, vielleicht nen bisl anders erklärt, aber so hab ichs verstanden. Vielleciht bringt dass ja was. Elementar berechenen ist hier zwar nicht gefordert, aber als Probe ganz nützlich.
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26.06.2004, 19:12	alewo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sorry hmm, wollt grad meine Aufgabe korrigieren, da hab ich festgestellt, dass der Thread-Steller, die Aufgabe falsch abgetippt hatte, weil original heiß die zweite Funktion 2x + y = 6. Daher auch mein Irrtum.

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