Summe Binomialverteilter Zufallsvariablen

13.05.2011, 11:42

NastyNat

Summe Binomialverteilter Zufallsvariablen

Meine Frage:
Ich weiß, das die Summe x+y zweier binomialverteilter Zufallsgrößen mit Parameter l und p sowie m und p gleich der binomialverteilung mit parametern (l+m) und p.

Was ist nun die wenn die Erfolgswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind? Das heißt, man habe für x die Parameter l und p und für y m und q.

Meine Ideen:
Sei x+y=n.

$\begin{eqnarray*} P(n=k)=P(x+y=k)= \sum\limits_{i=0}^k \begin{pmatrix} l \\ i \end{pmatrix} p^i(1-p)^{l-i} \begin{pmatrix} m \\ k-i \end{pmatrix} q^{k-i}(1-q)^{m-k+i} <br /> =\begin{pmatrix} l+m \\ k \end{pmatrix} \sum\limits_{i=0}^k p^iq^{k-i}(1-p)^{l-i}(1-q)^{m-k+i} \end{eqnarray*}$

Lässt sich nun der Ausdruck weiter vereinfachen? Man sollte ja auch davon den Erwartungswert berechen können.

13.05.2011, 12:13

René Gruber

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Soweit mir bekannt ist, lässt sich da nicht viel vereinfachen (die letzte Umformung in der Formelzeile dürfte im übrigen falsch sein).

Wenn es allerdings nur um die Berechnung des Erwartungswertes oder der Varianz geht, dann gibt es wesentlich angenehmere Wege als diesen hier. Augenzwinkern

13.05.2011, 12:31

NastyNat

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Es geht eigentlich um die Berechnung der Verteilung von x unter der Bedingung x+y=n und bezüglich dieser Bedingung den Erwartungswert von x.
Welcher "Weg" wäre dann hier angebracht?

13.05.2011, 13:11

René Gruber

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Also es geht um die bedingte Erwartung $\begin{eqnarray*} E(X | X+Y=n) \end{eqnarray*}$ ? Von bedingt war oben ja noch keine Rede. Na dann mach mal oben weiter, unter Beachtung des aufgezeigten Fehlers.

13.05.2011, 17:09

NastyNat

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Soll heißen, ich muss
$\begin{eqnarray*} E(X| X+Y=n) = \frac{E(X)}{P(X+Y=n)} \end{eqnarray*}$ berechnen?
Und was liefert mir die Verteilung?

13.05.2011, 17:25

NastyNat

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$\begin{eqnarray*} \frac{E(X)}{P(X+Y=n)} = \frac{lp}{ \sum\limits_{i=0}^k \begin{pmatrix} l \\ i \end{pmatrix} p^i(1-p)^{l-i} \begin{pmatrix} m \\ k-i \end{pmatrix} q^{k-i}(1-q)^{m-k+i} } \end{eqnarray*}$
Ich bezweifle, dass das stimmt. Doch weiß ich echt nicht wie ich mit Erwartungen und Verteilungen umgehen soll. Vielleicht soll ich erst die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, und deren Verteilung und dann daraus die bedingte Erwartung? Ich weiß echt nicht weiter, das alles verwirrt mich unglücklich

13.05.2011, 17:35

René Gruber

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Zitat:

Original von NastyNat
$\begin{eqnarray*} E(X| X+Y=n) = \frac{E(X)}{P(X+Y=n)} \end{eqnarray*}$

Nein, so kann man diese bedingte Erwartung gewiss nicht berechnen. unglücklich

Zitat:

Original von NastyNat
Vielleicht soll ich erst die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, und deren Verteilung und dann daraus die bedingte Erwartung?

Ja, so klappt es, also

$\begin{eqnarray*} E(X \bigm| X+Y=n) = \sum_{k=0}^n k\cdot P(X=k \bigm| X+Y=n) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} P(X=k \bigm| X+Y=n) = \frac{P(X=k\,\wedge\,X+Y=n)}{P(X+Y=n)} = \frac{P(X=k\,\wedge\,Y=n-k)}{P(X+Y=n)} = \frac{P(X=k)\cdot P(Y=n-k)}{P(X+Y=n)} \end{eqnarray*}$

ist. Einen deutlich einfacheren Weg sehe ich hier momentan nicht, aber wer weiß...

13.05.2011, 18:30

NastyNat

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ahh, ok,... jetzt weiß ich was zu tun ist.
Vielen Dank.

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