Element aus Ring-kein Produkt von Primelementen

13.05.2011, 14:00

Gast1153

Element aus Ring-kein Produkt von Primelementen

Korollar: In einem Hauptidealring R lässt sich jedes Element a aus R\{0}, welches keine Einheit ist, als endliches Produkt von Primelementen schreiben.

Der Beweis des Korollars ist klar.
Wenn ich nun aber nicht fordere, dass R ein Hauptidealring ist, müsste ich ein Element des Ringes finden, das sich nicht als Produkt endlich vieler Primelemente aus R darstellen lässt.
Ich habe bloß Schwierigkeiten damit, mir ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Es müsste ja demnach Fälle geben, in denen ein Element aus dem Ring sich nur als Produkt unendlich vieler Primelemente darstellen lässt oder aber gar nicht als Produkt von Primelementen.
Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank

13.05.2011, 19:05

Elvis

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Hauptidealringe sind faktoriell, d.h. die Primzerlegung ist eindeutig. In nicht faktoriellen Ringen ist die Primzerlegung nicht eindeutig.
Klassisches Beispiel $\begin{eqnarray*} 6=2\cdot 3=(1+i\sqrt5)(1-i\sqrt 5) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$

13.05.2011, 19:14

Gast1153

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In dem Korollar ist keine Aussage über die Eindeutigkeit getroffen.

Ich sehe somit nicht, inwiefern dein Beispiel zeigt, dass ein Element eines Ring, der kein Hauptidealring ist, sich nicht als Produkt von endlich vielen Primelementen schreiben lässt.

13.05.2011, 19:33

jester.

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Betrachte mal den Ring $\begin{eqnarray*} \mathcal H (\mathbb C) \end{eqnarray*}$ der holomorphen Funktionen in einer Variablen auf dem Gebiet $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .
In diesem Ring sind alle irreduziblen Elemente prim. Die irreduziblen Elemente sind genau die $\begin{eqnarray*} z\mapsto z-a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion $\begin{eqnarray*} z\mapsto \sin z \end{eqnarray*}$ hat unendlich viele verschiedene Nullstellen, sie kann also niemals als endliches Produkt aus diesen irreduziblen Elementen geschrieben werden.

13.05.2011, 21:43

juffo-wup

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Zitat:

Original von Gast1153
Ich sehe somit nicht, inwiefern dein Beispiel zeigt, dass ein Element eines Ring, der kein Hauptidealring ist, sich nicht als Produkt von endlich vielen Primelementen schreiben lässt.

Es gibt auch Nicht-Hauptidealringe, in denen sich jedes Element als Produkt von Primelementen schreiben lässt. Diese werden faktoriell genannt.

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