Integralrechnung für die Produkt von Gaußfunktion und cosinus-Funktion

13.05.2011, 15:24

martin204

Integralrechnung für die Produkt von Gaußfunktion und cosinus-Funktion

Hallo,

ich bin neu in Forum und auf folgender Intragration gestoßen. ich habe lange versucht, diese analytisch zu lösen, muss aber sagen, auch nach lange suche in Integrationstabelle kann ich es nicht hinkriegen. unglücklich

Hat jemand vielleicht eine Idee?

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}*cos(a*x^2+b*x+c)dx \end{eqnarray*}$

dabei ist d>0, a,b,c sind konstante.

folgende Formel sind mir bekannt, können gegebenfalls für das Lösen nützlich sein.

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}*cos(b*x)dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}}*e^{-\frac{b^2}{4d}} \end{eqnarray*}$

Gruß Weichang

13.05.2011, 15:37

René Gruber

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Ich würde versuchen, über $\begin{eqnarray*} \cos(t) = \cosh(it) = \frac{1}{2}\left( \exp(it)+\exp(-it) \right) \end{eqnarray*}$ mich der Sache zu nähern, d.h. im Integranden dann

$\begin{eqnarray*} \exp(-dx^2)\cdot \cos(ax^2+bx+c) = \frac{1}{2}\left( \exp(-dx^2+i(ax^2+bx+c))+\exp(-dx^2-i(ax^2+bx+c)) \right) \end{eqnarray*}$ ,

dann quadratische Ergänzung usw., das übliche Programm.

13.05.2011, 15:43

martin204

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Zitat:

Original von René Gruber
Ich würde versuchen, über $\begin{eqnarray*} \cos(t) = \cosh(it) = \frac{1}{2}\left( \exp(it)+\exp(-it) \right) \end{eqnarray*}$ mich der Sache zu nähern, d.h. im Integranden dann

$\begin{eqnarray*} \exp(-dx^2)\cdot \cos(ax^2+bx+c) = \frac{1}{2}\left( \exp(-dx^2+i(ax^2+bx+c))+\exp(-dx^2-i(ax^2+bx+c)) \right) \end{eqnarray*}$ ,

dann quadratische Ergänzung usw., das übliche Programm.

meinst du quadratische Ergänzung für den imaginären Teil in der e-funktion? wie geht es aber weiter?

danke.

13.05.2011, 15:45

René Gruber

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Zitat:

Original von martin204
wie geht es aber weiter?

Na dann mit einer passenden Subsitution - aber das ist nun endlich dein Part. Es ging hier erstmal nur um eine Idee, nicht darum, dass ich für dich die Rechnung durchführe. Augenzwinkern

13.05.2011, 15:59

martin204

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Zitat:

ich komme darauf: $\begin{eqnarray*} \exp(-dx^2)\cdot \cos(ax^2+bx+c) = \frac{1}{2}\left( \exp(-dx^2+i[a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}]+\exp(-dx^2-i[a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}] \right) \end{eqnarray*}$ ,

da muss ich mir noch weiter mit dem imaginären Teil überlegen verwirrt

13.05.2011, 16:02

René Gruber

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Das ist nicht das, was ich meinte, sondern so

$\begin{eqnarray*} \exp(-(d-ia)x^2+ibx+ic) = \ldots \end{eqnarray*}$ ,

d.h. also alle zu $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ gehörenden Koeffizienten zu bündeln. Wozu wohl sonst habe ich alles unter die gemeinsame e-Funktion gebracht? Doch nicht deswegen, um dann alles wieder getrennt zu behandeln.

P.S.: Entschuldige, dass ich das hier

Zitat:

Original von martin204
meinst du quadratische Ergänzung für den imaginären Teil in der e-funktion?

vorhin überlesen habe - sonst hätte ich da schon früher verneinend eingegriffen.

13.05.2011, 16:14

martin204

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Zitat:

Original von René Gruber
Das ist nicht das, was ich meinte, sondern so

$\begin{eqnarray*} \exp(-(d-ia)x^2+ibx+ic) = \ldots \end{eqnarray*}$ ,

d.h. also alle zu $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ gehörenden Koeffizienten zu bündeln.

danke, ich denke, ich habe es verstanden was du meinst smile

nun probiere ich mal mit der quadratischen Ergänzung für parabel mit komplexen koeffzient ...

13.05.2011, 16:44

martin204

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Integralrechnung für die Produkt von Gaußfunktion und cosinus-Funktion
nun bin ich soweit gekommen,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}exp(ic-(\frac{ib}{2(-d+ia)})^2)\int^{+\infty}_{-\infty}exp\{(-d+ia)(x+(\frac{ib}{2(-d+ia)})^2\}dx+... \end{eqnarray*}$

Der Term vor Intergral ist ein konstant, der Term nach der quadratischen Ergänzung in der e-Funktion kann man durch Substitution weiter vereinfachen, nun habe ich die Frage, ob dann die Formel

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}*cos(b*x)dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}}*e^{-\frac{b^2}{4d}} \end{eqnarray*}$

für komplexe Zahl gelten?

13.05.2011, 17:20

René Gruber

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Zitat:

Original von martin204
nun habe ich die Frage, ob dann die Formel

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}} \end{eqnarray*}$

für komplexe Zahl gelten?

Hab ich nicht nachgeprüft, aber ich würde sagen: Ja, allerdings nur für $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(d)>0 \end{eqnarray*}$ , und für $\begin{eqnarray*} \sqrt{d} \end{eqnarray*}$ im Nenner solltest du den Hauptwert nehmen.

16.05.2011, 11:09

martin204

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Integralrechnung für die Produkt von Gaußfunktion und cosinus-Funktion

Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von martin204
nun habe ich die Frage, ob dann die Formel

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}} \end{eqnarray*}$

für komplexe Zahl gelten?

entschuldige für die späte Meldung.

ich habe versucht, die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-(a+bi)(x+c+di)^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{sqrt(a^2+b^2)}} \end{eqnarray*}$

numerisch nachzuprüfen. Das stimmt, wenn a>0 und d=0 ist, bei mir ist das d aber ungleich Null.

Hat jemand eine Idee? verwirrt

16.05.2011, 11:15

René Gruber

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Moment mal: $\begin{eqnarray*} \sqrt{d} \end{eqnarray*}$ ist was anderes als $\begin{eqnarray*} \sqrt{|d|} \end{eqnarray*}$ , mit dem du anscheinend rechnest. verwirrt

16.05.2011, 11:34

martin204

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RE: Integralrechnung für die Produkt von Gaußfunktion und cosinus-Funktion

Zitat:

Original von martin204
nun bin ich soweit gekommen,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}exp(ic-(\frac{ib}{2(-d+ia)})^2)\int^{+\infty}_{-\infty}exp\{(-d+ia)(x+(\frac{ib}{2(-d+ia)})^2\}dx+... \end{eqnarray*}$

Der Term vor Intergral ist ein konstant, der Term nach der quadratischen Ergänzung in der e-Funktion kann man durch Substitution weiter vereinfachen, nun habe ich die Frage, ob dann die Formel

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}*cos(b*x)dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}}*e^{-\frac{b^2}{4d}} \end{eqnarray*}$

für komplexe Zahl gelten?

Hallo,

ich glaube, ich habe es verwirrend dargestellt. wenn wir zurück auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}exp(ic-(\frac{ib}{2(-d+ia)})^2)\int^{+\infty}_{-\infty}exp\{(-d+ia)(x+(\frac{ib}{2(-d+ia)})^2\}dx+... \end{eqnarray*}$

kommen, dann ist das Problem beim lösen von

$\begin{eqnarray*} \int^{+\infty}_{-\infty}exp\{(-d+ia)(x+(\frac{ib}{2(-d+ia)})^2\}dx+... \end{eqnarray*}$

hier das (-d+ia) stört nicht, so lange d>0 ist, so wie Du auch gemeint hast. Das problem ist bei Substitution mit Term

$\begin{eqnarray*} ( x+(\frac{ib}{2(-d+ia)})^2 \end{eqnarray*}$ ,

wir definiere: $\begin{eqnarray*} \frac{ib}{2(-d+ia)}=m+ni \end{eqnarray*}$ ,

bei Formel mit

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}} \end{eqnarray*}$

sind m und n gleich Null.

Bei meiner numerischen Berechnung habe ich ausgefunden, dass n=0 sein muss, damit

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}} \end{eqnarray*}$

bei meiner Berechnung verwendet werden kann.

Ich hoffe, ich habe es halbwegs meine Frage richtig formuliert Augenzwinkern

16.05.2011, 11:42

René Gruber

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Epische Breite, aber auf meinen Einwand bist du nicht wirklich eingegangen: Im Fall $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{\pi}{a+ib}} \neq \sqrt{\frac{\pi}{\sqrt{a^2+b^2}}} \end{eqnarray*}$ ,

denn da scheint mir das Hauptproblem bei deinen Berechnungen zu liegen! unglücklich

16.05.2011, 11:53

martin204

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Zitat:

Original von René Gruber
Epische Breite, aber auf meinen Einwand bist du nicht wirklich eingegangen: Im Fall $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{\pi}{a+ib}} \neq \sqrt{\frac{\pi}{\sqrt{a^2+b^2}}} \end{eqnarray*}$ ,

denn da scheint mir das Hauptproblem bei deinen Berechnungen zu liegen! unglücklich

du hast vollkommen Recht, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{\pi}{a+ib}} \neq \sqrt{\frac{\pi}{\sqrt{a^2+b^2}}} \end{eqnarray*}$ ,

jedoch,

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{|d|}} \end{eqnarray*}$

gilt, auch wenn d eine komplexe Zahl ist, solange der Realteil größer als Null ist.

Deshalb ist das nicht das Problem.

16.05.2011, 11:56

René Gruber

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Zitat:

Original von martin204
$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{|d|}} \end{eqnarray*}$

gilt, auch wenn d eine komplexe Zahl ist, solange der Realteil größer als Null ist.

Da bin ich (inzwischen auch nachgeprüft) anderer Meinung: Es ist

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-dx^2} ~ \dd x=\sqrt{\frac{\pi}{d}} \end{eqnarray*}$ ,

so wie es ursprünglich auch immer im Thread hier stand - solange bis du plötzlich mit dieser anderen, falschen Variante aufgekreuzt bist. unglücklich

P.S.: Eventuell hast du mein obiges "Hauptwert" einfach mit "Betrag" übersetzt - das ist falsch!

16.05.2011, 12:02

martin204

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Integralrechnung für die Produkt von Gaußfunktion und cosinus-Funktion
Vielleicht können wir es telefonisch erklären? Hab meine TeleNr dir per Nachricht geschickt.

Würde mich darauf freuen! smile

16.05.2011, 12:04

René Gruber

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Nein, was du zu besprechen hast, besprich hier im Board.

16.05.2011, 12:09

martin204

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genau, mit 'Hauptwert' habe ich 'Betrag' verstanden.

das habe ich auch durch numerische integration in MATLAB überprüft, und das hat sich als richtig bewährt.

Was meinst Du mit 'Hauptwert'?

16.05.2011, 12:57

René Gruber

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http://lmgtfy.com/?q=Hauptwert+der+komplexen+Quadratwurzel

16.05.2011, 13:58

martin204

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Integralrechnung für die Produkt von Gaußfunktion und cosinus-Funktion
Danke für die Erklärung.

aber ich bin trotzdem der Meinung, dass der Betrag in die Formel gehen soll. Das mit dem imaginären Teil bei der Substitution ist das Problem... unglücklich

16.05.2011, 14:01

René Gruber

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Zitat:

Original von martin204
aber ich bin trotzdem der Meinung, dass der Betrag in die Formel gehen soll.

Dein gutes Recht. So wie es meines ist, die Hilfe hier im Thread aufgrund mangelnder Einsicht (vielleicht auch mangelnden Vertrauens) einzustellen. Wink

19.05.2011, 12:30

martin204

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RE: Integralrechnung für die Produkt von Gaußfunktion und cosinus-Funktion

Zitat:

Original von martin204
Hallo,

ich bin neu in Forum und auf folgender Intragration gestoßen. ich habe lange versucht, diese analytisch zu lösen, muss aber sagen, auch nach lange suche in Integrationstabelle kann ich es nicht hinkriegen. unglücklich

Hallo,

ich habe es nun gelöst mit dem Ansatz von Gruber smile

also, das mit der Formel

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{d}} \end{eqnarray*}$

gilt immer, auch wenn d eine komplexe zahl ist, solange folgende Voraussetzung erfüllt ist:

Re(d)>0, oder Re(d)=0, und Im(d)>0.

Das mit der Substitution funktioniert hemmungslos, obwohl ich es noch nicht ganz verstanden habe.

das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-d*x^2}*cos(a*x^2+b*x+c)dx=\sqrt{\pi}(d^2+a^2)^{-0.25}\exp(\frac{-b^2d}{4(d^2+a^2)})cos[\frac{1}{2}atan(\frac{a}{d})+\frac{-b^2a+4d^2c+4a^2c}{4(d^2+a^2)}] \end{eqnarray*}$

danke noch mal für die Hilfe Big Laugh

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