Lsg. Poissongleichung/ Abschätzung

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13.05.2011, 18:31	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Lsg. Poissongleichung/ Abschätzung Meine Frage: Eine einfache Abschätzung Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} C^2 \end{eqnarray}$ - Funktion auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ mit kompaktem Träger, N das Newtonpotential auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u:=Nf \end{eqnarray}$ (eine Lösung der Potentialgleichung $\begin{eqnarray} \Delta u=f \end{eqnarray}$ ). Zeigen Sie: Es gibt eine Konstante C>0, sodass für alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Vert x\Vert \geq C \end{eqnarray}$ die Abschätzung $\begin{eqnarray} \|u(x)\|\leq C\cdot ln\Vert x\Vert \end{eqnarray}$ falls n=2 bzw. $\begin{eqnarray} \|u(x)\|\leq C\cdot \Vert x\Vert ^{n-2} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen:* zu n=2: $\begin{eqnarray} \|u(x)\|=\|Nf(x)\|=\|\int_{\mathbb R^n} N(x-y)f(y)dy\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\|\frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb R^n}ln\Vert x-y\Vert f(y)dy\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb R^n} \|ln\Vert x-y\Vert f(y)\|dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \int_{\mathbb R^n} \|ln\Vert x-y\Vert f(y)\|dy \end{eqnarray}$ Weiter weiß ich leider nicht!* Kann mir jemand an dieser Stelle helfen? [vorausgesetzt das Vorherige stimmt] Den Fall, dass $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$ ist, mache ich anschließend.
13.05.2011, 21:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt hin und her probiert, aber der entscheidende Kniff will mir nicht auf-bzw. einfallen. Auffällig finde ich halt nur, dass die rechten Seiten der zu zeigenden Abschätzungen so viel Ähnlichkeit mit dem Newtonpotential haben: Es sind ja nur die linken Faktoren durch das C ersetzt. Zur Erinnerung: Die Funktion $\begin{eqnarray} N:\mathbb R^n\backslash \left\{0\right\}\to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} N(x)=\begin{cases}<br /> <br /> \frac{1}{(2-n)\omega_n}\frac{1}{\Vert x\Vert ^{n-2}}, & \text{wenn }n\text{ ungleich 2,}\\<br /> \frac{1}{2\pi}\ln \Vert x\Vert, & \text{wenn }n\text{ gleich 2.}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ heißt Newton-Potential. Dabei ist $\begin{eqnarray} \omega_n=vol_{n-1}(S^{n-1}) \end{eqnarray}$ . Ich gehe davon aus, dass man mit dem Newtonpotential irgendwas macht... bzw. dieses abschätzt. Vielleicht hat ja doch noch jemand einen Tipp für mich, wie ich obige Abschätzungen zeigen kann.
14.05.2011, 17:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend war wohl ein Fehler in der Aufgabenstellung, denn es wurde vom Professor die Bedingung für die zweite Abschätzung umgeändert: Die erste Ungleichung soll weiterhin für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ gelten, die zweite aber nun für $\begin{eqnarray} n\neq 3 \end{eqnarray}$ . Ich warte weiterhin auf einen Tipp, wie ich abschätzen kann. Vielleicht erbarmt sich ja jemand?
25.07.2011, 15:44	Luis77	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lsg. Poissongleichung/ Abschätzung Meine Idee: 1. Fall: n=2 $\begin{eqnarray} \vert u(x)\vert=\vert Nf\vert =\vert \int_{\mathbb R^n}N(x-y)f(y) dy\vert=\vert\int_{\mathbb R^n}N(x)f(x-y)dy\leq\int_{\mathbb R^n}\vert N(x)f(x-y)\vert dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N(x)=\frac{1}{2\pi}\ln\Vert x\Vert\leq C'\cdot \ln\Vert x\Vert \end{eqnarray}$ Außerdem ist auch $\begin{eqnarray} \vert f(x-y)\vert\leq M, M>0 \end{eqnarray}$ (also f beschränkt, da f stetig ist (weil (stetig) differenzierbar) und einen kompakten Träger hat. [Stimmt das?]) Naja, jedenfalls würde ich meinen, daß man dann hat: $\begin{eqnarray} \leq \int_{supp(f)}C'\cdot \ln\Vert x\Vert\cdot M dy=C'\cdot \ln\Vert x\Vert M\cdot [y]_{supp(f)} \end{eqnarray}$ Und wenn man dann alle Konstanten zusammenfasst: $\begin{eqnarray} C:=C'M[y]_{supp(f)} \end{eqnarray}$ , hat man m.E. $\begin{eqnarray} \vert u(x)\vert\leq C\cdot \ln\Vert x\Vert \end{eqnarray}$ . Analog für den Fall, daß $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ . Bitte schaut darüber, ich bin mir nicht sehr sicher! Ist nur eine Idee!
25.07.2011, 15:56	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lsg. Poissongleichung/ Abschätzung Ich glaube, das stimmt nicht: Denn es müsste am Anfang lauten: $\begin{eqnarray} \vert \int_{\mathbb R^n}N(x-y)f(y) dy\vert=\vert\int_{\mathbb R^n}N(y)f(x-y)dy\vert \end{eqnarray}$ . Und dann könnte man meiner Meinung nach das N(y) nicht einfach so rausziehen, weil es ja von y abhängt und nach y integriert werden soll.
25.07.2011, 16:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lsg. Poissongleichung/ Abschätzung Weiß jemand Rat? Auch das ist so eine Aufgabe, die ich schon ewig ungelöst mit mir herumschleppe...
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25.07.2011, 16:51	Luis77	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lsg. Poissongleichung/ Abschätzung Läuft m.E. auf dasselbe hinaus, wegen $\begin{eqnarray} \ln\Vert x-y\Vert\leq\ln\Vert x\Vert \end{eqnarray}$ . Was ich aber seltsam finde, ist, daß u(x) ja für x=y eine Singularität hat. Allerdings glaube ich, daß diese durch die Abschätzung sowieso belanglos wird? Was ich meine ist: $\begin{eqnarray} \leq \int_{\supp(f)\backslash \left\{y\right\}}\vert N(x-y)f(y)\vert\leq \int_{supp(f)}\vert N(x)f(y)\vert dy [...] \end{eqnarray}$ Wie gesagt, keine Ahnung, ob das stimmt! Und ich weiß auch nicht, ob man das mit dem y so machen kann.
25.07.2011, 16:57	Luis77	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lsg. Poissongleichung/ Abschätzung Meinte eben: $\begin{eqnarray} \leq\int_{\mathbb R^n\backslash \left\{y\right\}}\vert N(x-y)f(y)\vert dy=\int_{supp(f)\backslash \left\{y\right\}}\vert N(x-y)f(y)\vert dy\leq \int_{supp(f)}\vert N(x)f(y)\vert dy \end{eqnarray}$ . Das y, das man zuerst ausschließen muss, erledigt sich dann bei der Abschätzung. Ist jedenfalls meine Idee.
25.07.2011, 17:02	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lsg. Poissongleichung/ Abschätzung Weiß auch nicht... Du scheinst ja auch eher unsicher zu sein. Ich warte lieber mal, bis jemand anders antwortet. Vielen Dank aber an Dich!
25.07.2011, 17:04	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der Träger von f kompakt ist, existiert ein R>0, so dass $\begin{eqnarray} supp(f) \subset K_R(0) \end{eqnarray}$ . Wir können dann das Integral auf diese Kugel mit Radius R einschränken. Sei nun $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ beliebig mit $\begin{eqnarray} \Vert x \Vert \geq R+1 \end{eqnarray}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray} y \in K_R(0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \leq \Vert x-y \Vert \leq 2 \Vert x \Vert \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ln( \Vert x-y \Vert ) \leq \ln(2 \Vert x \Vert) \leq 2 \ln( \Vert x \Vert) \end{eqnarray}$ . Letztes gilt nur für alle $\begin{eqnarray} \Vert x \Vert \geq 2 \end{eqnarray}$ , was wir o.B.d.A. annehmen können. Mit diesen Abschätzungen gilt dann für den Fall $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \| u(x) \| = \left\| \int_{K_R(0)} \frac{1}{2\pi} \ln (\Vert x - y \Vert) f(y) \, dy\right\| \leq\ln(\Vert x\Vert) \underbrace{ \frac{1}{\pi} \left\| \int_{K_R(0)} f(y) \, dy\right\|}_{=: c_1} \leq \max \{R+1,c_1,2 \} \ln(\Vert x\Vert) =: C\ln(\Vert x\Vert) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \Vert x \Vert \geq C \end{eqnarray}$ .
25.07.2011, 17:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre ich so nie drauf gekommen. Sehr vielen Dank!
25.07.2011, 17:41	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
Fall $\begin{eqnarray} n \geq 3 \end{eqnarray}$ : Man kann zeigen, dass es für alle $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} R_2 > R \end{eqnarray}$ existiert, mit $\begin{eqnarray} \frac{\Vert x \Vert^{n-2}}{\Vert x-y \Vert^{n-2}} \leq C_1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Vert x \Vert \geq R_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Vert y \Vert \leq R \end{eqnarray}$ . Das kann man sich vllt mit einem Bild klar machen. Dazu wird $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ einfach so groß gewählt, dass $\begin{eqnarray} \frac{\Vert x \Vert^{n-2}}{\Vert x-y \Vert^{n-2}} \end{eqnarray}$ gleichmässig gegen 1 geht, also auch durch ein $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ beschränkt ist. Damit lässt sich dann einfach abschätzen: $\begin{eqnarray} \|u(x) \| \leq \left\| \int_{K_R(0)} \frac{1}{(2-n)\omega_n} \frac{1}{ \Vert x - y \Vert^{n-2}} f(y) \, dy \right\| \leq \frac{1}{ \Vert x \Vert^{n-2}} \underbrace{ \left\| \int_{K_R(0)} \frac{C_1}{(2-n)\omega_n} f(y) \, dy \right\|}_{=:C_2} \leq \underbrace{ \max \{R_2,C_2 \} }_{=:C} \cdot \Vert x \Vert^{2-n} \end{eqnarray}$

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