orthogonales Komplement und orthogonale Projektion

13.05.2011, 19:14

lilithilli1210

orthogonales Komplement und orthogonale Projektion

Hi,

habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Sei U ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^5 \end{eqnarray*}$
er wird erzeugt von den Vektoren:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Berechnen sie das orthogonale Komplement von U
Sei $\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$ die orthogonale Projektion auf U, Berechnen die $\begin{eqnarray*} \Pi(c) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe dann erstmal die Basis von U zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^5 \end{eqnarray*}$ mit den Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergänzt.
Habe geprüft dass alle Vektoren noch linear unabhängig sind.
Dann habe ich daraus eine Orthogonalbasis (OGB) für $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^5 \end{eqnarray*}$ mittelg Gram-Schmidt gemacht.

Jetzt kommt schon meine erste Frage:
Habe nämlich erst angefangen mit Gram-Schmidt mit der gegeben Reihenfolge der Basisvektoren, was schnell mühsam wurde und dann habe ich mich gefragt ob ich für das Verfahren von Gram-Schmidt die Vektoren auch beliebig vertauschen kann in der Reihenfolge...

Hab das dann einfach mal gemacht und rausbekommen für die (umgeordnete) Basis:
$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}, -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ die OGB

Hätte ich die Basis jedoch vorher nicht "umgeordnet", wäre eine viel "kompliziertere" OGB entstanden.
Jedenfalls müsste ja dann das orthogonale Komplement von U genau von den ersten drei Basisvektoren der OGB erzeugt werden, da die beiden letzten die "ursprünglichen" von U sind.... richtig oder?

Beim zweiten Teil der Aufgabe wirkt sich das natürlich auch aus

Def. für $\begin{eqnarray*} \Pi(c) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \Pi(c)= \sum\limits_{j=1}^j <c, v_{j}>*v_{j} \end{eqnarray*}$

Wenn ich da jetzt mit der "schönen" OGB rechne ( die leicht in eine ONB = Orthogonalbasis überführt werden kann weil die Normen der Basisvektoren ja sehr einfach sind) bekommen ich als Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \Pi(c) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe das ganze dann nochmal versucht mit der "komplizierten" ONB zu rechnen, da kommt dann aber was ganz anderes, wieder was sehr kompliziertes mit vielen Brüchen raus...

Woran liegt das, dass ich beim Umordnen der Basis so unterschiedliche OGB und ONB bekommen und darf ich umordnen um es einfacher zu machen??

LG Lilithilli smile

14.05.2011, 15:38

Reksilat

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RE: orthogonales Komplement und orthogonale Projektion
Hallo lilithilli,

Zitat:

Jetzt kommt schon meine erste Frage:
Habe nämlich erst angefangen mit Gram-Schmidt mit der gegeben Reihenfolge der Basisvektoren, was schnell mühsam wurde und dann habe ich mich gefragt ob ich für das Verfahren von Gram-Schmidt die Vektoren auch beliebig vertauschen kann in der Reihenfolge...

Nein, denn so findest Du nur eine ONB, die den gleichen Raum wie alle fünf Vektoren aufspannt. Die Information über einzelne Teilräume geht verloren.

Zitat:

Hab das dann einfach mal gemacht und rausbekommen für die (umgeordnete) Basis:ist
$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ die OGB

Damit hast Du nichts erreicht, denn Dein $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ (oder eine Basis davon) ist hier nirgendwo mehr zu finden. Du benötigst doch Basisvektoren, die orthogonal zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sind, aber das fehlt jetzt völlig. Prüfe doch selbst nach, ob Du hier einen Vektor findest, der orthogonal zu den Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist - wirst Du nicht finden.

Du wirst also in den sauren Apfel beißen und die erste Variante nehmen müssen. Mit ein wenig mathematischem Gespür kann man so eine OGB aber auch erraten. So sehe ich zum Beispiel, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} (-1,1,2,0,0)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,0,0,3,-1)^T \end{eqnarray*}$ senkrecht zueinander und zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sind. Da würde jetzt nur noch ein dritter, dazu linear unabhängiger Vektor fehlen, der ebenfalls senkrecht zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist, dann hat man eine Basis des orthogonalen Komplements und zum Bilden einer Orthogonalbasis fehlt nur noch ein kleiner Schritt.

Gruß,
Reksilat.

14.05.2011, 16:53

lilithilli1210

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ok, das hat mir schon mal sehr weitergeholfen.

Die beiden Vektoren, die du "erraten" hast, habe ich auch als erste rausbekommen beim orthogonalisieren der Basisvektoren von U.

Reicht es dann wirklich nur noch einen weiteren zu berechnen?

Wir hatten es nämlich mal so in einem Beispiel gemacht, dass wir dann die Basis von U zu einer vom gesamten Vektorraum ergänzen sollten und dann von dieser Basis von den gesamten Vektorraum die OGB berechnen mussten und dann waren eben gerade die "neu hinzugekommenen" orthogonalisierten Basisvektoren von dem gesamten Vektorraum die Basisvektoren von dem orthogonalen Komplement...

LG lilithilli smile

14.05.2011, 17:06

lilithilli1210

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so sieht unser bespiel aus...

http://www.myimg.de/?img=beispielf1ff2.jpg

14.05.2011, 17:11

Reksilat

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Ja, das Bestimmen eines weiteren, linear unabhängigen Vektors reicht. Dann hat man einen dreidimensionalen Unterraum, der senkrecht zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist. Dieser muss dann natürlich in $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ liegen, aber aus der Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} \dim V=\dim U+\dim U^\perp \end{eqnarray*}$ folgt, dass man schon das gesamte Komplement gefunden hat.

Dein Bild kann ich leider nicht betrachten. verwirrt

14.05.2011, 17:17

lilithilli1210

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hab das bild nochmal versucht im anhang hochzuladen.
wir haben das nämlich wie gesagt immer ganz anders gemacht...siehe beispiel....

LG lilithilli smile

14.05.2011, 17:20

Reksilat

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Ihr habt es eben mit Gram-Schmidt berechnet und ich hab's erraten. smile

Gibt's noch Fragen?

14.05.2011, 17:45

lilithilli1210

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ja aber ich mein wir haben doch in dem beispiel den "neuen" vektor für die basis von dem komplement genommen und du hast gesagt man kann einfach die beiden von U orthogonalisieren und dann noch einen dritten dazu nehmen und man hätte die basis von dem komplement...

habe mal noch nen dritten berechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \\ -\frac{5}{12} \\ \frac{4}{12} \\ \frac{1}{12} \\ \frac{3}{12} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sind dann die beiden vektoren von vorhin und dieser eine basis vom komplement??

lg lilithilli smile

14.05.2011, 18:35

Reksilat

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Zitat:

Original von lilithilli1210
ja aber ich mein wir haben doch in dem beispiel den "neuen" vektor für die basis von dem komplement genommen und du hast gesagt man kann einfach die beiden von U orthogonalisieren und dann noch einen dritten dazu nehmen und man hätte die basis von dem komplement...

Ich versteh kein Wort. verwirrt

Was ist der "neue Vektor"?
Wo hab ich gesagt, dass man die beiden Vektoren von U orthogonalisieren soll?

Zitat:

habe mal noch nen dritten berechnet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \\ -\frac{5}{12} \\ \frac{4}{12} \\ \frac{1}{12} \\ \frac{3}{12} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
sind dann die beiden vektoren von vorhin und dieser eine basis vom komplement??

Anstatt zu fragen, hättest Du selbst erst mal die Probe machen können.
Dieser Vektor ist nicht orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren aus U und somit falsch.

14.05.2011, 19:37

lilithilli1210

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Zitat:

Original von Reksilat

Was ist der "neue Vektor"?

mit neu meine ich dass wie in dem Beispiel ja die Basis von U mit einem linear unabhängigen zu einer Basis von V ergänzt haben.
Dann haben wir von der Basis von V eine OGB gebildet und den dritten "neuen" Vektor von der Basis von V als basisvektor von dem Komplement von V genommen.

Zitat:

Original von Reksilat
Wo hab ich gesagt, dass man die beiden Vektoren von U orthogonalisieren soll?

Du hast doch oben gesagt dass du senkrechte Vektoren zu U "erraten" hast. Das sind dieselben wie wenn man die Basis von U zu einer OGB macht, also orthogonalisiert...oder?

Also irgendwie komm ich nicht weiter

Hab jetzt mal die Basis von V komplett zu einer OGB gemacht.
Habe jetzt also 5 OGB-Vektoren.

Davon müssten ja dann jetzt die letzten drei das komplent aufspannen, weil die ersten beiden U aufspannen und ja U und das Komplement die direkte Summe von V sind...

Lg lilithilli smile

15.05.2011, 11:27

Reksilat

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Zitat:

Original von lilithilli1210

Zitat:

Original von Reksilat
Was ist der "neue Vektor"?

OK, aber worauf willst Du nun hinaus?

Zitat:

Original von Reksilat
Wo hab ich gesagt, dass man die beiden Vektoren von U orthogonalisieren soll?

Du hast doch oben gesagt dass du senkrechte Vektoren zu U "erraten" hast. Das sind dieselben wie wenn man die Basis von U zu einer OGB macht, also orthogonalisiert...oder?

Ja, ich habe Vektoren gefunden, die senkrecht zu U sind. Mit den beiden Vektoren aus U habe ich aber überhaupt gar nichts gemacht. Dass meine gefundenen Vektoren auch bei Deinem Algorithmus rausgekommen sind, ist mehr oder weniger Zufall. Es finden sich auch unendlich viele andere Basen für $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$

Zitat:

Hab jetzt mal die Basis von V komplett zu einer OGB gemacht.
Habe jetzt also 5 OGB-Vektoren.

Davon müssten ja dann jetzt die letzten drei das komplent aufspannen, weil die ersten beiden U aufspannen und ja U und das Komplement die direkte Summe von V sind...

Wenn Du eine OGB von V gefunden hast, bei der zwei Vektoren eine Basis von U bilden, so bilden die restlichen drei Vektoren eine Basis des orthogonalen Komplements.
Es sind ja schließlich drei linear unabhängige Vektoren, die senkrecht zu U sind.

Ich glaube, dass die Verwirrungen daraus resultieren, dass Du in meinem ersten Beitrag den letzten Absatz etwas missverstanden hast. Ich habe dort zwei Methoden erwähnt, wie man ein orthogonales Komplement finden kann.
i) Gram-Schmidt-Algorithmus
ii) Probieren
Irgendwie habe ich das Gefühl, dass wir beide Methoden parallel besprochen haben. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

15.05.2011, 16:33

lilithilli1210

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ja irgendwie kam da wohl etwas durcheinander.

egal habe jetzt das ganze prozedere mit gram schmidt mal durchgerechnet und bin auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ ist Basis von U

Dann ergänzt ist eine Basis von V $\begin{eqnarray*} = \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ Basis von V

habe natürlich die lineare Unabhängigkeit der neu dazugenommen Vektoren überprüft.

So dann OGB von U ist:

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ nach Gram-Schmidt.

OGB von V ist:

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \\ -\frac{5}{12} \\ \frac{4}{12} \\ \frac{1}{12} \\ \frac{3}{12} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{12}{23} \\ \frac{67}{138} \\ \frac{28}{69} \\ \frac{7}{69} \\ \frac{7}{23} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -\frac{494}{12581} \\ 0,0038 \\ -0,0675 \\ 0,8998 \\ -0,3007 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ nach Gram-Schmidt.

Da ja

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ eine Basis von U wie oben gezeigt,

müsste ja jetzt eine Basis vom Komplement sein:

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \\ -\frac{5}{12} \\ \frac{4}{12} \\ \frac{1}{12} \\ \frac{3}{12} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{12}{23} \\ \frac{67}{138} \\ \frac{28}{69} \\ \frac{7}{69} \\ \frac{7}{23} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -\frac{494}{12581} \\ 0,0379 \\ -0,0675 \\ 0,8998 \\ -0,3007 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ Basis vom Komplement...

stimmt das so=)?

lg lilithilli smile

15.05.2011, 19:52

Reksilat

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Zitat:

Original von lilithilli1210
OGB von V ist:

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \\ -\frac{5}{12} \\ \frac{4}{12} \\ \frac{1}{12} \\ \frac{3}{12} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{12}{23} \\ \frac{67}{138} \\ \frac{28}{69} \\ \frac{7}{69} \\ \frac{7}{23} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -\frac{494}{12581} \\ 0,0038 \\ -0,0675 \\ 0,8998 \\ -0,3007 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ nach Gram-Schmidt.

Den dritten Vektor dieser Menge habe ich doch oben schon als falsch gekennzeichnet und auch die letzten beiden sind offensichtlich nicht orthogonal zu den ersten zwei Vektoren. Das kann also keine Orthogonalbasis sein.

Ich habe übrigens auch keine Lust den Gram-Schmidt selbst nachzurechnen. Ich kann Dir sagen, ob eine Menge eine Orthogonalbasis ist oder nicht, aber das solltest Du eigentlich auch selbst können. Mach also bitte eine Probe, anstatt mir einfach ungeprüft die Ergebnisse Deiner Rechnungen zu schreiben.

Von der Theorie stimmt Deine Vorgehensweise aber wenigstens.

15.05.2011, 20:47

lilithilli1210

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Sorry, hatte nen vorzeichen fehler in der rechnung.

das ganze wurde dann auch deutlich unkomplizierter....

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{7}{12} \\ \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{12} \\ \frac{1}{4} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{10}{21} \\ \frac{10}{21} \\ \frac{1}{21} \\ \frac{1}{7} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{9}{10} \\ -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$

die stehen jetzt wirklich orthogonal aufeinander.... Augenzwinkern

dann sind davon jetzt die letzten drei basis vom komplement...

oh man ich kann kein gram-schmidt mehr sehn^^

danke für die hilfe!!!

lg lilithilli smile

15.05.2011, 21:53

Reksilat

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Dann weißt Du auch, warum ich keine Lust habe, den Gram-Schmidt nachzurechnen und höchstens das Ergebnis kontrolliere. Augenzwinkern

Prima. Passt. Freude

Ciao,
Reksilat.

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