Extremstellen, Nullstellen eines Polynoms

13.05.2011, 19:36

Valentin99

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Extremstellen, Nullstellen eines Polynoms

Hallo,

ich habe folgende Funktion bei der Charakteristika herauszuarbeiten sind. :

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^3+9x^2-24x \end{eqnarray*}$

Ich habe erst einmal ausgeklammert und danach f(x)=0 gesetzt, um die Nullstelllen zu berechnen.

also

$\begin{eqnarray*} 0 = x(2x^2+9x-24) \end{eqnarray*}$

=> Nullstelle bei x= 0

$\begin{eqnarray*} 2x^2-9x-24 = 0 \end{eqnarray*}$

Das kann man nicht mit lösen mit der a-b-c Formel z.B.: heißt das, dass es keine weiteren Nullstellen gibt?

Nun Extremstellen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 6x^2+18x-24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=6x^2+18x-24 \end{eqnarray*}$

Lässt sich nicht mit a-b-c Formel lösen. Wie komme ich nun auf die Extremstellen?

Gruß

Valentin

13.05.2011, 19:39

Equester

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verwirrt

Warum kannst du die abc-Formel in beiden Fällen nicht anwenden?
Schau nochmals Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2011, 19:40

sulo

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RE: Extremstellen, Nullstellen eines Polynoms
Kann es sein, dass du ein Problem mit der abc-Formel hast?

Beide Male lassen sich die Gleichungen lösen, von denen du sagst, es geht nicht.

Hm.... verwirrt

verwirrt

13.05.2011, 19:48

Valentin99

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Ups, entschuldigt. Ich habe ansatt -4ac +4ac gerechnet...

Danke nochmals Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ach ja, wenn ich schonmal einen Thread eröffne, kennt ihr noch andere wichtige Charakteristika dieser Funktion? Also die bei einer Vorstellung erwähnenswert sein könnten?

13.05.2011, 19:53

sulo

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Wie wäre es mit einem Wendepunkt? smile

smile

Vielleicht solltest du mal hier schauen: Klick.

Sehr schön ist auch dies: Klick.

13.05.2011, 19:54

Equester

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Symmetrie, Wendepunkt, Grenzwertverhalten, Asymptoten ...brauchst noch mehr? smile

smile

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13.05.2011, 20:16

Valentin99

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Okay, danke.

Ich habe die Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte berechnet, diese sind:

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_1=6.38 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-1.88 \end{eqnarray*}$

Extremstellen:

$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x+18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(1)=12+18 = 30 \end{eqnarray*}$ = Tiefpunkt ?
$\begin{eqnarray*} f''(-4)=12*(-4)+18 = -30 \end{eqnarray*}$ = Hochpunkt ?

Wendepunkte:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=6x²+18x-24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(1)=6*1² + 18*1-24 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(-4)=6*(-4)²+18*(-4)-24=0 \end{eqnarray*}$

D.h. es gibt keine Wendepunkte?

13.05.2011, 20:19

Equester

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Du Nullstellen sind falsch. Du hast wohl die Vorzeichen vertauscht.
Schau nochmals die Mitternachtsformel an Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Extremstellen sind korrekt. Kannst du mir auch die Extrempunkte benennen?

Es gibt sehr wohl einen Wendepunkt. Aber wie lauten gleich nochmals die
Bedingungen dafür?
Das was du da aufgestellt hast, hat damit nix zu tun^^

13.05.2011, 20:23

Valentin99

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Ähm, die Nullstellen sind korrekt.

Schau:

$\begin{eqnarray*} \frac{-9+sqrt((-9)^2-4*2*(-24))}{4} \end{eqnarray*}$

= 1.88

$\begin{eqnarray*} \frac{-9-sqrt((-9)^2-4*2*(-24))}{4} \end{eqnarray*}$

= -6.38

edit:

Wendepunkt:

"
f''(x) = 0, f'''(x) ungleich 0

Die Steigung der Wendetangente erhält man - wie die Steigung jeder beliebigen Tangente - durch Einsetzen von x in die 1. Ableitung." von http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/kd.htm

Ahh, dann muss ich also f''(x)= 0 setzen und x berechnen.

D.h.:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x+18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=12x+18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -18=12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1.5=x \end{eqnarray*}$

Also ist mein Wendepunkt bei -1.5 ?

13.05.2011, 20:26

Equester

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Die Formel lautet ein weng anders. Schau dir die Änderung bei den beiden
9en an.

$\begin{eqnarray*} \frac{9+sqrt((-9)^2-4*2*(-24))}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-9+sqrt((9)^2-4*2*(-24))}{4} \end{eqnarray*}$

Schau bei Bedarf nochmals im Schulbuch nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2011, 20:29

Valentin99

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Du hast recht. Entschuldige...

13.05.2011, 20:30

Equester

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Dein Edit ist richtig: Die Wendestelle ist bei -1.5.

Finde noch zu allen Stellen die Punkte Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2011, 20:39

Valentin99

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Okay!

Für den Wendepunkt:

$\begin{eqnarray*} f(-1.5)=2*(-1.5)^3+9*(-1.5)^2-24*(-1.5) = 49.5 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} W(-1.5|49.5) \end{eqnarray*}$

Extrempunkte:

Tiefpunkt:

$\begin{eqnarray*} f(1)=2*1^3+9*1^2-24*1 = -13 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} E_{TP}=(1|-13) \end{eqnarray*}$

Hochpunkt:

$\begin{eqnarray*} f(-4)=2*(-4)^3+9*(-4)^2-24*(-4) = 112 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} E_{HP}=(-4|112) \end{eqnarray*}$

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} f(1.88)=2*1.88^3+9*1.88^2-24*1.88 = -0.0210 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} N_1=(1.88|-0.0210) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-6.38)=2*(-6.38)^3+9*(-6.38)^2-24*(-6.38) = 0.07145 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} N_2=(-6.38|0.07145) \end{eqnarray*}$

13.05.2011, 20:47

Equester

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Alle Punkte: Du musst das in f(x) einsetzen. In die ursprüngliche Form Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tief und Hochpunkt: Du musst die x-Werte von der ersten Ableitung in f(x) einsetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nullstellen: Auch falsch, aber eine fehlt!

13.05.2011, 20:48

Valentin99

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DAs habe ich danach gemacht. Hab leider auf meinem Schmierzettel die ganze Zeit die Funktion 0=2x²-9x-24 angeschaut. Ist nun geändert.

Edit:

So nun müsste alles richtig sein. Könntest du nochmal drüber schauen?

Welche Nullstelle fehlt?

13.05.2011, 20:50

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ok

Augenzwinkern

Wendepunkt stimm.
Bei den Nullstellen schreibe es um Big Laugh

Big Laugh

Rechts steht 0. Das sind bei dir nur so
krumme Werte, da du mit Rundungswerten arbeitest! So ist das auf jeden
Fall falsch! Der y-Wert muss 0 sein. Danach wurde schließlich auch gefragt.
Der x-Wert darf gerundet sein.

Falsch: Extrempunkte
Fehlt: eine weitere Nullstelle Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2011, 20:56

Valentin99

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Mist ich kanns nicht mehr ändern.

Aber natürlich, ich weiß auch nicht wieso ich für die Nullstelle ne y-Koordinate berechnet hab.

Also: wie berechne ich denn die 3. Nullstelle?

13.05.2011, 20:57

Equester

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Berechnen musst da nicht mehr viel^^

Du hast doch einmal en x ausgeklammert...Machts klick? Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2011, 20:59

Valentin99

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Ja, aber welche Werte setze ich nun für welches x ein? bei :

$\begin{eqnarray*} x(2x²+9x-24) \end{eqnarray*}$

Edit:

Ist das so gemeint?

$\begin{eqnarray*} x_1(2x_2-9x_3-24) \end{eqnarray*}$

Dann wäre mein $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ~ -6.37876

13.05.2011, 21:07

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ fehlt uns!^^

Wann ist ein Produkt 0? Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2011, 21:12

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn einer der Faktoren in dem Produkt 0 ist.

Edit:

$\begin{eqnarray*} x(2x²+9x-24) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1(2*1.88²+9*(-6.37876)-24) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=-74.34*x_1 |:-74.34 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0= x_1 \end{eqnarray*}$

13.05.2011, 21:37

Valentin99

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richtig ?

13.05.2011, 22:14

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Da brauchst du nix rechnen^^ Einfach $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ ^^
N(0/0) ist also die fehlende Nullstelle.

Extrempunkte korrigiert?

13.05.2011, 22:36

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, die extrempunkte müssten korrekt sein.

edit:

Ach ja, welche nennenswerten Eigenschaften sollte man denn noch aufzählen?

13.05.2011, 23:40

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Sattelpunkt gibt es hier doch nicht oder?

wenn ich nämlich die 2 Ableitung = 0 setze und dann den x wert in die erste Ableitung setze habe ich nicht 0 raus.

Also:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x+9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=12x+9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => x=-0.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-0.75)=6*(-0.75)^2+9*(-0.75)-24 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Gruß

Valentin

14.05.2011, 10:31

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe mal GeoGebra benutzt, um alle Punkte aufzutragen.

Fehlt da noch etwas?

14.05.2011, 11:00

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

Das was ich oben zum Sattelpunkt geschrieben habe, ist Blödsinn. Ich habe b in der 2. Ableitung verwechselt.

Eigentlich lautet diese:

f''(x)=12x+18 => x= -1.5, also

f(-1.5)= 49.5 <- Wendepunkt.

Der Sattelpunkt fällt natürlich raus.

14.05.2011, 11:58

Valentin99

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Ich habe die Anschauung noch mal aktualisiert. Da waren ein paar Sachen falsch.

Gruß

Valentin

14.05.2011, 16:40

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich alles richtig verfolgt habe: Stimmt alles Freude

Freude

Zum Sattelpunkt: Wenn du die erste Ableitung nach 0 auflöst, ist es möglich, dass
du Extrempunkte findest oder en Sattelpunkt! Der hat ja die spezielle
Eigenschaft, dass f'(x)=f''(x)=0 ist. Deswegen musst du deine erste Ableitung immer
überprüfen -> Welchen Extrempunkt hast du, oder ist es gar ein Wendepunkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

14.05.2011, 17:15

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich habe die erste Ableitung = 0 gesetzt, also:

$\begin{eqnarray*} 0=6x²+18x-24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => x_1=1 ; x_2=-4 \end{eqnarray*}$

dann diese Werte in die 2. Ableitung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} f''(1)>0 = Tiefstelle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(-4) < 0 = Hochstelle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = -13 => E_{TP} = (1 | -13) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-4) = 112 => E_{HP} = (-4 | 112) \end{eqnarray*}$

Sattelpunkt habe ich nicht:
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 12x + 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => x = -1.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(-1.5) > 0 \end{eqnarray*}$

und f'(x) muss = 0 sein, soweit ich weiß.

Eine Wendepunkt habe ich:
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=12x+18 => x= -1.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-1.5) = 49.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => W(-1.5 | 49.5) \end{eqnarray*}$

edit:

nur ich frage mich, ob ich bei der Vorstellung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2x³+9x²-24x \end{eqnarray*}$
eine Anschauung dieser Art, also mit Ableitung, 2. Ableitung usw. nutzen sollte oder einfach alles bis auf den Graphen ausblenden, also nur die markanten Punkte lassen sollte?

Wie war das noch gleich mit dem Monotonieverhalten? Welche Aussage lässt sich darüber treffen? Nur dass der Graph steigt, da f'(x) positiv ?

14.05.2011, 17:17

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine "Extrasuche" nach dem Sattelpunkt ist unnötig.

Der Rest ist alles richtig. Wenn du einen Sattelpunkt hast, erhälst du ihn automatisch,
wenn du die erste Ableitung 0 setzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

14.05.2011, 17:20

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch was an meinen letzten Post angefügt.

Okay, danke!

14.05.2011, 17:29

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

also nur die markanten Punkte lassen sollte?

Wie meinen? Ich meine, wenn du nur Teilausschnitte der Kurve zeigst, hat das wenig Sinn.
Zeige ruhig die beiden anderen Graphen. Sorge aber dafür, dass diese nur dezent
zu sehen sind. Das Hauptmerk sollte auf der Funktion selbst liegen (falls möglich).

Die Monotonie kannst du natürlich noch zeigen. Hier spielen die Extrempunkte eine
besondere Rolle. Du musst diese als Anfang/Ende der Intervalle nehmen, denn bei
den Extrempunkten ändert sich ja das Monotonieverhalten! Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2011, 17:35

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben uns im Unterricht noch nicht damit beschäftigt (Monotonieverhalten).

Wir haben z.Z. eine Referendarin, die uns Funktionen gegeben hat, die wir der Klasse präsentieren sollen.

Denkst du,

dass das so in Ordnung geht mit der Grafik?

Edit:

So ich habe mir jetzt gerade das hier durchgelesen: Ich mach das mal so:

klick

14.05.2011, 17:38

Equester

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Yup sieht sehr gut aus.

Du kannst dann gleich erzählen: "Schaut her: Die Nullstellen der ersten Ableitung geben
die Extremstellen der Funktion an. Seht weiters, dass die Nullstelle der zweiten Ableitung
die Wendestelle angibt." Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn ihr das Monotonieverhalten noch nicht hatte, wirste das auch nicht zeigen müssen?

14.05.2011, 17:58

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

Augenzwinkern

Ich denke, ich kann es trotzdem mit einbauen, wir hatten das, wenn ich mich recht entsinne, einmal bei Potenzfunktionen.

Also

-4 0
-3 -24
-2 -36
-1 -36
0 -24
1 0

Aussage:

Für x von -4 bis 0 ist f(x) monoton fallend

Was kann man noch sagen?

14.05.2011, 18:20

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Deine Wertetabelles hast du wofür gemacht?
Die stimmt so nicht.

Deine Aussage ist richtig aber unvollständig.
Für x von -4 bis 1 ist f(x) monoton fallend.
Siehste ja im Schaubild Augenzwinkern

Augenzwinkern

Habt ihr schon das Grenzwertverhalten? Wie die Funktion im Unendlichen aussieht?

14.05.2011, 18:23

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das haben wir noch nicht.

Was kann ich denn noch sagen über das Monotonieverhalten der Funktion?

14.05.2011, 18:26

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass außerhalb des von dir genannten Intervalls die Funktion monoton steigt verwirrt

verwirrt

Big Laugh

Was willste denn noch sagen?! Wenn ihr noch nicht von Monotonie gesprochen habt,
werdet ihr wohl auch nicht den Unterschied zwischen streng und nicht streng monoton kennen?!

14.05.2011, 18:38

Valentin99

Auf diesen Beitrag antworten »

streng monoton steigend: Also wenn die Funktion stets steigt und niemals für mehrere x-Werte den gleichen y-Wert hat.

monton steigend: Der Graph sinkt nicht, hat jedoch über kurze Distanzen den selben Funktionswert für unterschiedliche x-Werte. Das trifft zu

Also mein Graph steigt in dem Intervall nicht streng monoton, bzw. fällt nicht streng monoton.

f(x) monoton steigend <=> f'(x) >= 0 (für alle x)
f(x) streng monoton steigend <=> f'(x) > 0 (für alle x)
f(x) monoton fallend <=> f'(x) <= 0 (für alle x)
f(x) streng monoton fallend <=> f'(x) < 0 (für alle x)

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