einfach geschlossenen ebenen Kurve immer ambient isotop zu Kreis

14.05.2011, 09:41	Claraa	Auf diesen Beitrag antworten »
einfach geschlossenen ebenen Kurve immer ambient isotop zu Kreis Meine Frage: Hallo. Ich muss zeigen, dass jede einfach geschlossene ebene Kurve immer ambient isotop zu einem Kreis ist. Dabei heisst einfach geschlossen, dass die Kurve keine Selbstüberschneidungen hat. Meine Ideen: Ich weiss leider überhaupt nicht, wie ich an die Sache rangehen soll. Ein Ansatz wäre evtl sich den größten Abstand zwischen zwei Punkten auf der Kurve zu nehmen und die Kurve dann in einen Kreis mit diesem Durchmesser zu deformieren? Aber wie mach ich das? Hat irgendjemand eine Idee? DANKESCHÖN!
14.05.2011, 11:58	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine einfach geschlossene Kurve die in eine zweidimensionale Ebene eingebettet ist teilt die Ebene in zwei disjunkte Gebiete, die man Innen und Außen nennen kann. Ein Kreis in der Ebene tut das ebenfalls. Wenn du zeigen kannst, dass die beiden Innenräume durch eine stetige Transformation aufeinander abbildbar sind, und dass dieselbe Transformation auch die Außenräume aufeinander abbildet, dann bildet diese Transformation auch die Ränder der beiden Gebiete, also die geschlossene Kurve und den Kreis, aufeinander ab.
14.05.2011, 14:56	Claara	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Aber ehrlich gesagt hilft mir das nicht weiter. Eine ambiente Isotopie ist ja grade so definiert, dass sie den ganzen Raum deformiert. Meine Frage war aber, ob mir jemand einen Tipp zur konkreten Abbildung geben kann, die das tut? Was muss ich mir dafür überlegen? Wäre wirklich toll, wenn jemand helfen könnte...
15.05.2011, 10:08	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich das richtig verstanden? du sollst eine konkrete Abbildung angeben, die Objekt, von dem du nichts weißt, außer das es eine einfach geschlossene Kurve ist, in einen Kreis verwandelt? Ich würde sagen, dass das nicht gehen wird, weil du ja die Kurve, die zu einem Kreis gemacht werden sollst, gar nicht kennst. Die geschlossene Kurve kann ja beliebig viele Einbuchtungen und Ausstülpungen haben. Denke z.B. an die Umfangslinie eines Zahnrades. Oder schau dir dieses Bild an: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/e/ef/FRACT003.GIF darin ist jede Grenze zwiscen zwei Farben eine einfache geschlossene Kurve. Sogar der Rand der innersten Figur ist eine einfache geschlossene Kurve, nur eben mit der Besonderheit, dass diese innerste Kurve unendlich viele Ausstülpungen und Einbuchtungen hat. Wie willst du EINE konkrete Abbildung finden, die all diese Kurven auf Kreise abbildet?
15.05.2011, 11:55	Claara	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja die Aufgabe lautet wie oben: zeigen Sie, dass jede einfach geschlossene ebene Kurve ambient isotop zu einem Kreis ist. Für ambient isotop haben wir folgende Definition: Eine Isotopie des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ist eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi:[0,1] \times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ , so dass für jedes feste $\begin{eqnarray} t \in [0,1] \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi(t, \cdot): \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ein Homöomorphismus ist. Zwei einfach geschlossene Kurven heissen $\begin{eqnarray} c_0,c_1 \end{eqnarray}$ heissen ambient isotop, falls es eine Isotopie gibt mit $\begin{eqnarray} \Phi(0,x) = Id_{\mathbb{R}^n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Phi (1, \cdot) \circ c_0 = c_1 \end{eqnarray}$ . Wir müssen also zeigen, dass es eine solche Abbildung gibt. Wir müssen sie also nicht zwangsläufig angeben, aber ich wüsste nicht, wie sonst? Aber du hast Recht, das im Allgemeinen anzugeben, wird wahrscheinlich schwierig... Die Aufgabe würde im Übrigen im Fach Differentialgeometrie gestellt, von Topologie hab ich leider nicht so viel Ahnung.. Vielen vielen lieben Dank für deine Mühe!!!

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