DGL System linearer Diffgleichung

14.05.2011, 09:58	bergy	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL System linearer Diffgleichung Hallo, Hab folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} \frac{d\vec{y}(x) }{dx} = \vec{f}(x,\vec{y}(x)) = A \cdot \vec{y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y} = \begin{pmatrix} y1 \\ y2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Anfangsbedingung: y(0) = (2, -1/3) Das soll exakt gelöst werden. Überlegug war eventuell mit einer Wronski-Matrix das zu lösen und komme damit auf : W(t) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1e^{-4t} & 3e^t \\ -1e^{-4t} & 2e^t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ergibt dies Sinn? und Wenn ja welchen und wie würde ich von hier weitermachen ? Vielen Dank schonmal
19.05.2011, 23:22	Inka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es so machen: 1. Eigenwerte von A finden 2. Eigenvektoren finden 3. Lösung: $\begin{eqnarray} y_{1} = e^{\lambda _{1}\cdot x } w^{(1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{2} = e^{\lambda _{2}\cdot x } w^{(2)} \end{eqnarray}$ wo $\begin{eqnarray} w^{(1)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w^{(2)} \end{eqnarray}$ Eigenvektoren sind oder so: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \vec{y}=c_{1}e^{\lambda _{1}\cdot t } w^{(1)} + c_{2}e^{\lambda _{2}\cdot t } w^{(2)} \end{eqnarray}$ wo c1 und c2 Konstanten sind. Es liefert exakte Lösung!!! Genauer kann man hier nachschauen http://www.math.okstate.edu/~binegar/4233/4233-l02.pdf (auf englisch)

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