Konvergenz - Grenzwert

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14.05.2011, 10:22	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz - Grenzwert Aufgabe: Auf Konvergenz untersuchen und ggf. Grenzwert bestimmen: $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n \geq 1} := \sum\limits_{k=1}^n \frac{n}{n^{2}+k} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand einen Ansatz geben? Hab schon Umformen versucht oder Abschätzen, aber komme zu keinem wirklichen Ergebnis... Habs bis $\begin{eqnarray} n=5 \end{eqnarray}$ getestet und es scheint immer größer zu werden... damit ist aber eben noch nicht klar ob es dann z.b. gegen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ konvergiert oder dann bis unendlich geht Würde es helfen die Folge rekursiv darzustellen? Wobei ich mir da jetzt bei den Umformungen nicht so sicher bin Also würde mich freuen wenn mir jemand einen Tipp geben würde
14.05.2011, 10:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein (brutale) Abschätzung bringt dich auf eine sehr bekannte divergente Reihe.
14.05.2011, 10:42	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, falls ich jetzt völlig daneben liege oder so Um aus der Folge eine Reihe zu machen müsste ich dann ja $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \bigg( \sum\limits_{k=1}^n \frac{n}{n^{2}+k} \bigg) \end{eqnarray}$ schreiben oder?
14.05.2011, 10:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das musst du nicht. Du sollst überprüfen ob $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac n{n^2+k} \end{eqnarray}$ existiert, also kannst du direkt die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac n{n^2+k} \end{eqnarray}$ betrachten und auf Konvergenz überprüfen. Mir fällt aber eine kleine Unstimmigkeit auf, überprüf nochmal ob die Indizes richtig aufgeschrieben sind und wo kommt das k her? Wird darüber summiert oder soll doch das n genommen werden?
14.05.2011, 10:52	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich hab mir das selbst als Summe aufgeschrieben, wörtlich heißt es in der Aufgabe: Untersuche die Folge $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n \geq 1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{n}{n^{2}+1} + \frac{n}{n^{2}+2} + ... + \frac{n}{n^{2}+n} \end{eqnarray}$ auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert. Also als k hab ich einfach diese Zahl im Nenner gewählt die ja alle natürlichen Zahlen von 1 bis n durchläuft.
14.05.2011, 10:59	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann so doch gar nicht funktionieren, die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ innerhalb der Summe stehen zu lassen, und aus dem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ oben an der Summe ein $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ zu machen. Diese $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sollen doch sozusagen "gleichzeitig" gegen unendlich gehen. Verwende das Sandwich-Kriterium um zu zeigen, dass deine Folge gegen 1 geht, indem du $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ geeignet abschätzt. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray} k\leq n \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \frac n {n^2+k} \geq \frac n {n^2+n} \end{eqnarray}$ ...
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14.05.2011, 11:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ist mein Vorschlag oben kompletter Unfug, ich habe die Indizes so geschoben, wie ich es gerne gehabt hätte...danke an jester. für die Korrektur.
14.05.2011, 11:19	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Macht jetzt eigentlich das hier $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \bigg(\sum\limits_{k=1}^n \frac{n}{n^{2}+k} \bigg) \end{eqnarray}$ Sinn? Jetzt nicht auf die Aufgabe bezogen, sondern um aus der Folge eine Reihe zu machen? Sandwich-Kriterium hatten wir noch nicht... muss mir mal noch die anderen Kriterien ansehen ich blick da noch nicht durch Kann man die Aufgabe jetzt noch anders lösen als mit diesem Kriterium? So ganz versteh ich das nicht, weil man hat ja viele Summanden mit verschiedenen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ im Nenner und die zusammengenommen ergeben dann ja irgendwie 'viel'
14.05.2011, 11:37	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, Sandwich-Kriterium heißt bei uns Einschachtelungs-Satz
14.05.2011, 14:51	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mittlerweile hab ich die Aufgabe gelöst, hat gut mit dem Sandwich-Kriterium bzw. Einschachtelungssatz funktioniert und mir auch ein besseres Verständnis dafür gebracht Danke für die Hilfe

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