Gleichzeitiges Diagonalisieren

14.05.2011, 10:56	burgo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichzeitiges Diagonalisieren Meine Frage: Hallo Leute, leider bekomme ich folgende Aufgabe nicht hin. Vielleicht kann mir hiermit jemand helfen: Seien $\begin{eqnarray} f,g\in End(V), dim V=n<\infty \end{eqnarray}$ , diagonalisierbar und es gelte fg=gf. Zeigen Sie a) $\begin{eqnarray} \forall\lambda \in eig(f)\ gilt: E_\lambda (f)=\oplus_{\mu\in eig(g)}(E_{\lambda}(f)\cap E_\mu (g)) \end{eqnarray}$ b)Es gibt eine gemeinsame Basis in B aus Eigenvektoren. D.h jedes v Element aus B ist sowohl Eigenvektor von f also auch Eigenvektor von g. Meine Ideen: Was ich zu a) weiß: 1.) Aufgrund von fg=gf folgt das ker(g) und im(g) f-invariant sind 2.) Der Eigenraum $\begin{eqnarray} E_\lambda (f)=ker(f-\lambda\ id_V) \end{eqnarray}$ 3.) Und aus der direkten Summe folgt, dass $\begin{eqnarray} E_\lambda(f)=+_{\mu \in eig(g)}(E_\lambda (f)\cap E_\mu(g)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_\lambda(f)=\cap_{\mu \in eig(g)}(E_\lambda (f)\cap E_\mu(g))=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ Muss ich hier die Dimensionsformel anwenden unter Berücksichtigung der 1 und wie baue ich die 2 und die 3 ein? Ich bin mit diesen Eigenräumen leicht überfordert. zur b): Hier hab ich nicht wirklich einen Plan ich denke jedoch, dass ich mir eine geeignete Basis suchen muss und hier dann die Eigenschaft nachweisen muss. Kann das sein? Im Voraus schon mal vielen Dank für eure Antworte!

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