Integration durch Substitution, Problem bei Rücksubstitution

14.05.2011, 12:12	raptile	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution, Problem bei Rücksubstitution Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe, $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{-2x}{(4-3x^2)^2} \, dx \end{eqnarray}$ mit a= -1 und b= 1. Außerdem ist gegeben: z(x)=4-3x^2. Meine Ideen: Ich habe nun substituiert: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{-2x}{(z)^2} \, dx \end{eqnarray}$ (-> Die Grenzen lasse ich weg, weiß nur nicht wie das mit dem Formeleditor geht) Nun ersetze ich die Integrationsvariable: $\begin{eqnarray} z'(x)=\frac{dz}{dx} = -6x <=> dx= \frac{dz}{-6x} \end{eqnarray}$ Im nächsten Schritt: $\begin{eqnarray} \int_a^b \!\frac{-2x}{(z)^2} \, dx => \int_a^b \! \frac{-2x}{(z)^2} \, \frac{dz}{-6x} = \int_a^b \! \frac{1}{3z^2} \, dz \end{eqnarray*}$ Die Grenzen bitte wieder wegdenken! Und hier hänge ich jetzt und weiß nicht wie es weitergeht. Könnt ihr mir helfen?
14.05.2011, 12:25	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution, Problem bei Rücksubstitution Ziehe die $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ vor das Integral (warum du das darfst ist dir klar?). Anschließend ist $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{z^2}~\mathrm{d}z \end{eqnarray}$ ein Grundintegral.
14.05.2011, 12:49	raptil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist mir bekannt. Und für das $\begin{eqnarray} z^2 \end{eqnarray}$ setze ich dann $\begin{eqnarray} (4-3x^2)^2 \end{eqnarray}$ ein? Nur was passiert dann mit dem [latex] dz[/atex] ?
14.05.2011, 12:52	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor du eine Rückstubstitution machst musst du erstmal die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\int \frac{1}{z^2}~\mathrm{d}z \end{eqnarray}$ bestimmen. Wenn du das gemacht hast ersetzt du das $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ wieder. Wenn du das $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ersetzt hast wird das $\begin{eqnarray} \mathrm{d}z \end{eqnarray}$ wieder zu $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ .
17.05.2011, 16:50	raptil	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2} = z^{-2} \end{eqnarray}$ und davon die Stammfunktion: $\begin{eqnarray} \frac{z^-1}{-1} \end{eqnarray}$ und das dürfte dann: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{z} \end{eqnarray}$ sein oder?
17.05.2011, 19:50	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Stammfunktion stimmt. Vergiss aber den Faktor, den du aus dem Integral gezogen hast, nicht, genauso wie du die Integrationskonstante hinschreiben solltest, da es sich ja um ein unbestimmtes Integral handelt. Nun musst du noch die Rücksubstitution machen.
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