Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.

14.05.2011, 13:10

Arthie

Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.

Hallo,
ich soll diese Aufgabe lösen:

Stellen Sie die Kurve, deren Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ der Gleichung
$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2)^2-4x^3+12xy^2=0 \end{eqnarray*}$
genügen, in Polarkoordinaten dar. Welche Art von Symmetrie hat diese Kurve?

Allerdings habe ich absolut keine Ahnung wie ich das anstellen soll! Aus Mechanik weiß ich zwar wie ich kart. Koordinaten in Polarkoordinaten umwandle, aber ich sehe nicht wie ich das hier anwenden soll, wenn ich dem Sinne ja keine Koordinaten habe sind sondern nur eine Gleichung. Im Internet finde ich nur die Gleichungen aus der Mechanik, aber wie gesagt, ich weiß nicht wie ich diese Anwenden soll...

14.05.2011, 15:37

Arthie

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RE: Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.
Also ich habe einfach mal den Ansatz aus der Mechanik verwendet.
$\begin{eqnarray*} x=r*cos(x), y=r*sin(x) \end{eqnarray*}$
Dies in die Gleichung eingesetzt und nach r aufgelöst und dabei kam ich auf den Wert von $\begin{eqnarray*} 20/cos^2(x) \end{eqnarray*}$
Aber ich weiß leider nicht weiter....

14.05.2011, 15:40

Abakus

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RE: Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.
Hallo,

ok, die Transformationsformeln hast du. Wie hast du jetzt gerechnet und eingesetzt?

Grüße Abakus smile

14.05.2011, 16:09

Arthie

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RE: Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.
Die gleichung steht oben.
Dann habe ich für das x r*cos(x) eingesetzt und für das y r*sin(x) und das r ausgeklammert
das sieht dann so:

$\begin{eqnarray*} (r^2[cos^2(x)+sin^2(x)])^2= r^3(4cos^3(x)+12cos(x)*sin(x)^2) \end{eqnarray*}$

dann die klammern auf der linken seite gelöst

$\begin{eqnarray*} r^4((cos^2(x)+sin^2(x))^2= r^3(4cos^3(x)+12cos(x)*sin(x)^2) \end{eqnarray*}$

dazu habe ich aus dem sin^2 ein 1-cos^2 gemacht und subtrahiert, sowie das r weggekürzt
$\begin{eqnarray*} r(cos^2(x)+sin^2(x)^2= 4cos^3(x)+11cos(x)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist mir aber was aufgefallen, was mir hätte schon längst auffallen soll! Undz war dass
$\begin{eqnarray*} r(cos^2(x)+sin^2(x)^2 \end{eqnarray*}$ r ist. somit ist
$\begin{eqnarray*} r=cos(x)^2*(4cos(x)+11) \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich den Betrag der Polarkoordinaten, aber wie komme ich an den Winkel? Ich habe zwar einen Haufen Formel mit einer Menge Fallunterscheidungen, nur weiß ich nicht welche ich raussuchen soll und wie ich sie verwenden soll... Ich habe ja keine kartesischen Koordinaten welche ich einfach in arctan(y/x) einsetzen sondern nur die Gleichung...

Mir ist was aufgefallen: ich suche x und y, und x ist r*cos und y r*sinx. r ist bekannt. ich habe also eingesetzt, das r hat sich weggekürzt(welchen sinn hat das r wenn es sich sowieso weggekürzt oder habe ich einen fehler gemacht)
jedenfalls habe ich dann $\begin{eqnarray*} arctan(sin(x)/cos(x) \end{eqnarray*}$

14.05.2011, 18:46

riwe

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RE: Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.
1) hast du dich verrechnet
und
2) hältst du deine bezeichner für gut mit $\begin{eqnarray*} x = r\cdot cos(x) \end{eqnarray*}$
ich würde für den winkel einen anderen wählen

diese reihung kann man auch umdrehen Augenzwinkern

14.05.2011, 18:58

Arthie

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RE: Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.
Es kann sein dass ich mich verrechnet habe, aber war der ansatz richtig? und was du mit dem 2. punkt meinst weiß ich auch nicht...
wenn ich x und y ausgerechnet habe, wie soll ich dann fortfahren? oder muss mein ansatz ganz anders sein?

14.05.2011, 19:25

riwe

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RE: Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.
ich hätte halt $\begin{eqnarray*} x = r\cdot cos\phi \end{eqnarray*}$ verwendet statt 2mal x zu quälen.

der weg ist richtig und ,wenn du richtig rechnest, bist du damit auch schon fertig.
dann sieht man auch die symmetrie

15.05.2011, 12:26

Arthie

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15.05.2011, 13:04

Arthie

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RE: Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.
Gibt es da einen Unterschied zwischen meienr und deiner Schreibweise bzw wo ist das Problem? Und kann ich Sin(x) und cos(x) schreiben oder müssen das zwei variabeln sein? Ich versuche jetzt erstmal nochmal die Aufgabe zu lösen. Nach r aufzulösen war richtig, oder?

Ich habe r ausgeklammert und hatte dann

$\begin{eqnarray*} r^2=4r^3cos^3-12rcosr^2sin^2 \end{eqnarray*}$

Aber ich verstehe eine sache immernoch nicht

für den winkel nimmt man die formel arctan(y/x)
x ist ja r*cos und y r*sin. wenn r gleich ist, dann kürzt sich das doch direkt raus und man hat arctan von sin/cos also der arctan(tan).....
Bitte klärt mich auf...

16.05.2011, 19:08

Abakus

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RE: Gleichung einer Kurve (Lemniskate) in Polarkoordinaten.

Zitat:

Original von Arthie
für den winkel nimmt man die formel arctan(y/x)
x ist ja r*cos und y r*sin. wenn r gleich ist, dann kürzt sich das doch direkt raus und man hat arctan von sin/cos also der arctan(tan).....
Bitte klärt mich auf...

Schreib es mal sauber hin bitte:

$\begin{eqnarray*} \varphi = arctan(\frac y x) = arctan(\frac{r \cdot \sin \varphi}{r \cdot \cos \varphi}) = arctan(\tan \varphi) = \varphi \end{eqnarray*}$

Alles richtig, oder?

Grüße Abakus smile

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