Mersenne-Primzahl

14.05.2011, 15:18	Nups	Auf diesen Beitrag antworten »
Mersenne-Primzahl Meine Frage: Ich habe Probleme mit 2 Aufgaben: 1) Zeige: Sind a,k?N, k >1 und ist a^k-1 Primzahl, so muß a=2 sein. 2) Zeige: Zeige: Sind a,k?N\{1} und ist a^k+1 Primzahl, so muß a gerade und k eine Potenz von 2 sein. Meine Ideen: Idee zu 1) Beweise Indirekt: a!=2 => a^k-1 ist nicht prim Fall 1: a=1 1^k-1=0, also keine Primzahl. Fall 2: a>2 per Induktion Induktionsanfang: a=3 3^k-1 3er-Potenzen sind ungerade. 3k-1 ist also gerade und wegen k>1 größer als 2. => 3^k-1 ist nicht prim. Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} (a+1)^{k}-1=\sum\limits_{j=0}^k \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} a^{k-i}-1<br /> = \sum\limits_{j=1}^k \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} a^{k-i} + a^k - 1 \end{eqnarray}$ a^k-1 ist laut Induktionsvorraussetzung nicht prim (Vielfaches von 2) Ich muss nun also noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^k \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} a^{k-i} \end{eqnarray}$ ebenfalls Vielfaches von 2 ist. Gilt das überhaupt? Und wenn ja, kann mir jemand nen Tip geben, wie man es beweist? Zu 2) ist mir bisher noch kein Ansatz eingefallen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »