Konvergenzradius berechnen

14.05.2011, 19:07

Osti

Konvergenzradius berechnen

Meine Frage:
Ich bin gerade dabei den Konvergenzradius von folgender Potenzreihe zu bestimmen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$
In meiner Musterlösung ist der Konvergenzradius unendlich und die Ptenzreihe würde somit für alle x konvergieren. Ich bekomm allerdings was anderes raus, ist mein Rechenweg falsch oder meine Musterlösung?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} a_{k} = \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{k+1}}{a_{k}}| = \frac{\frac{1}{(k+1)!} }{\frac{1}{k!} } = \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{k}{k+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{k} } -> \text { 1 für k } -> \infty \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex-Tags eingefügt (klarsoweit)

16.05.2011, 10:05

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius berechnen

Zitat:

Original von Osti
$\begin{eqnarray*} \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{k}{k+1} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle hast du falsch gekürzt.

Nebenbei gehört es zum Uni-Grundwissen, daß die Exponentialreihe den Konvergenzradius unendlich hat. Augenzwinkern

16.05.2011, 11:07

trashing88

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RE: Konvergenzradius berechnen

Zitat:

Original von Osti
$\begin{eqnarray*} \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{k}{k+1} \end{eqnarray*}$

Stimmt ist natürlich falsch gekürzt.

$\begin{eqnarray*} k! = k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdot....\cdot2\cdot1 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} (k+1)! = (k+1)\cdot k \cdot(k-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Was ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{k!}{(k+1)!} ? \end{eqnarray*}$

Tipp: Im Zähler bleibt nichts übrig. Außerdem ist doch klar, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ sehr schnell gegen Null geht. Fakultäten wachsen schneller als jeder Potenzen von x. Also kann der gesamte Ausdruck nur gegen Null gehen.

16.05.2011, 15:05

Osti

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das müsste dann $\begin{eqnarray*} \frac{k}{k+1} \end{eqnarray*}$ sein smile

vielen dank habs verstanden!

16.05.2011, 15:06

Osti

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das müsste dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$ sein smile

vielen dank habs verstanden!

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