Folgenkriterium

14.05.2011, 19:14

El Rey

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Folgenkriterium

Meine Frage:
hallo liebes forum

ich sitze hier an folgender aufgabe bei der ich einfach keinen ansatz finde

man hat eine funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^n -> \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ aber ohne 0 im definitionsbereich
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{||x||_2} \end{eqnarray*}$

man soll nun zeigen das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ nicht existiert

Meine Ideen:
ich hab den tipp bekommen das man das mit einer alternierenden folge machen kann aber wie und was mir das hilft weis nich

kann mir da bitte wer helfen ???

14.05.2011, 19:28

Cel

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Ich würde das nicht mit einer alternierenden Folge machen. Sowieso: Du brauchst zwei Folgen, damit du die Nicht-Existenz zeigen kannst.

Mein Tipp: Nimm mal $\begin{eqnarray*} x_n = \left(\frac{1}{n}, 0, \dots, 0\right) \end{eqnarray*}$ und guck mal $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ an.

Als zweite Folge kannst du fast die gleiche Folge nehmen, nur, dass du die 0en ersetzt ... wodurch wohl?

14.05.2011, 19:35

El Rey

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ich kann dir noch nich ganz folgen

also weil man soll ja x gegen null laufen lassen is damit jez die x komponente eines vektors gemeint oder der gesamte vektor ??

14.05.2011, 19:51

El Rey

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wäre das nich 1 ??

14.05.2011, 19:51

Cel

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Du sollst ja das Folgenkriterium benutzen. Wir lassen also nicht x gegen 0 gehen, sondern n gegen Unendlich. Und die Folge läuft dann gegen 0. Schlag noch mal das Folgenkriterium nach.

Es ist übrigens $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , es ist also nicht eine Komponente, sondern der ganze Vektor.

Edit: $\begin{eqnarray*} f(x_n) = sin(n) \end{eqnarray*}$ , woher kommt denn das? Erstens geht f in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und wenn wir mal n=1 angucken, dann ist da kein Sinus ... verwirrt

verwirrt

14.05.2011, 20:01

El Rey

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ja der sinus sollte da gar nich hin ich war da grad ina falschen aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

sorry für die verwirrung

ich versteh das immer noch nich so ganz aber ich versuchs mal
$\begin{eqnarray*} f(x_n) = \frac{\begin{pmatrix} \frac{1}{n} \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} }{\sqrt{\frac{1}{n}^2 } } \end{eqnarray*}$

wenn man dann n gegen unendlich schickt dann hat man doch 0 imm nenner oder wie macht man das ??

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14.05.2011, 20:15

Cel

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Ja, das ist doch schon mal gut. Die Wurzel unten kannst du ziehen, so dass dort nur 1/n steht. Und diesen skalaren Faktor kannst du doch in den Vektor reinmultiplizieren, das steht dort nur ein wenig komisch.

$\begin{eqnarray*} f(x_n) = \frac{\begin{pmatrix} \frac{1}{n} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} }{\frac{1}{n} } =\frac{1}{\frac{1}{n}} \begin{pmatrix} \frac{1}{n} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.05.2011, 20:18

El Rey

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okay also würde ich den ersten einheitsvektor erzielen aber wie hilft mir das bei dem was ich zeigen soll ??

14.05.2011, 20:30

Cel

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Was sagt denn das Folgenkriterium? Ich hab dir auch schon einen Hinweis gegeben, was du nun machen musst:

Zitat:

Original von Cel
Ich würde das nicht mit einer alternierenden Folge machen. Sowieso: Du brauchst zwei Folgen, damit du die Nicht-Existenz zeigen kannst.

Als zweite Folge kannst du fast die gleiche Folge nehmen, nur, dass du die 0en ersetzt ... wodurch wohl?

14.05.2011, 20:33

El Rey

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ich bin nich sicher was das folgenkriterium sagt

ich denke es sagt wenn eine folge in einem raum konvergiert dann is dieser abgeschlossen und der $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ is defenitiv nich abgeschlossen also macht ja die aussage so weit sinn aber ich versteh i-wie das prinzip wie du das zeigen willst nich so ganz

14.05.2011, 21:04

Cel

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Öhm, wir reden hier vom Folgenkriterium bzgl. der Stetigkeit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \text{ existiert} \Leftrightarrow \forall~ (x_n)_n \subseteq \mathbb{R}^n: ~x_n \to 0 ~(n \to \infty) \Rightarrow~f(x_n) \to f(0) ~(n \to \infty) \end{eqnarray*}$ .

Wie mir gerade auffällt, ist diese Tatsache im Skript gar nicht so benannt, lies dir noch mal Definition 3.1. durch. Dort steht eben "für alle Folgen". Du hast jetzt gezeigt, dass der erste Einheitsvektor für eine spezielle Folge herauskommt. Nimm dir jetzt die andere Folge und du wirst sehen: Dort kommt nicht der erste Einheitsvektor heraus. smile

smile

14.05.2011, 21:10

El Rey

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aso deswegen kam mir das so komisch vor Big Laugh

Big Laugh

naja eine andere folge würde die hier gehen ??

$\begin{eqnarray*} x_{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{n} \\ 0 \\ ...\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ da würd ja der 2 einheitsvektor rauskommen

14.05.2011, 21:12

Cel

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Ach so, ja, meinetwegen. Geht auch. smile

smile

Sehr schön. Freude

Freude

14.05.2011, 21:35

El Rey

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ich versteh das prinzip noch nich so ganz was hätte rauskommen müssen damit der limes existiert ??

14.05.2011, 22:22

Cel

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Es hätte für jede (!!) Nullfolge der gleiche Grenzwert herauskommen müssen.

14.05.2011, 22:45

El Rey

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aso oki
ich danke dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

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