Beweis: n^n > (n+1)^(n-1)

14.05.2011, 19:19	marty000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: n^n > (n+1)^(n-1) Meine Frage: Hi Leute ich soll folgende Aussage für n > 1 und n natürliche Zahl beweisen: $\begin{eqnarray} n^n > (n+1)^{(n-1)} \end{eqnarray}$ Ich habs schon bewiesen indem ich über die definition von e gegangen bin. Ich weiß jetzt nur nicht, ob ich das verwenden darf. Gibt es da auch eine Möglichkeit mit Induktion? Habs schon versucht, komme aber zu keinem Ergebnis. Freundliche Grüße, marty Meine Ideen: Hab nur eine Frage.
14.05.2011, 21:29	Roman Oira-Oira	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: n^n > (n+1)^(n-1) Edit: Alles wieder entfernt! Hatte einen Denkfehler in meiner Lösung! Aber zeige doch mal, was du bisher bewiesen hast! Sowohl über e, als auch das, was du bereits zur vollständigen Induktion hast.
14.05.2011, 22:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dividiert man die nachzuweisende Ungleichung durch $\begin{eqnarray} (n+1)^n \end{eqnarray}$ , so steht da (noch etwas umgeschrieben) $\begin{eqnarray} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n > \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ . Und das folgt für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ direkt aus der Bernoullischen Ungleichung (im Fall n=1 hat man noch = statt >).
15.05.2011, 00:28	marty00	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber die Ungleichung lautet doch: $\begin{eqnarray} (1+x)^n >= 1+nx \end{eqnarray}$ und nicht (1-x)^n
15.05.2011, 00:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Erinnerung, die Bernoullische Ungleichung in der strikten Variante: Für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ sowie alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray} x>-1,x\neq 0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (1+x)^n > 1+nx \end{eqnarray}$ . Hier einfach für $\begin{eqnarray} x= -\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ anwenden.
15.05.2011, 15:14	marty000	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
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