Polynomring über die ganzen Zahlen - Ideal

15.05.2011, 06:57

Zitrone21

Polynomring über die ganzen Zahlen - Ideal

Moin.

Auf Wikipedia steht unter http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptidealr...Gegenbeispiele,
in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ (also der Polynomring der ganzen Zahlen) die 2 und die Variable X ein Ideal in dem Ring bilden, das kein Hauptideal ist (klar, weil es zwei Elemente sind)

Irgendwie habe ich dabei allerdings schauliche Schwierigkeiten:
In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ sind Elemente die von $\begin{eqnarray*} span\{1,x,x^2,x^3, \cdots\} \end{eqnarray*}$ erzeugt werden.
Wenn 2 und X ein Ideal bilden, dann heißt das doch, das alles was ich an Linearkombinationen aus 2 und X bilden kann, ein Ideal ist?
Sprich $\begin{eqnarray*} span\{2,x\} = \{1,2,3, \cdots, x,2x,3x, \cdots \} \end{eqnarray*}$ jedoch ist $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nicht in dem Ideal, da ich ja nur den span nur mit skalaren Vielfachen erzeuge. (Ich denke diese Aussage stimmt nicht)

Denn für ein Ideal muss ja gelten:
1) Das Ideal ist abgeschlossen bezüglich Addition
2) Das Ideal ist abgeschlossen bezüglich Multiplikation mit dem kompletten Ring.

In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ist aber z.B. auch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich dieses Element nun mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multipliziere: $\begin{eqnarray*} x^2 * x = x^3 \end{eqnarray*}$ , dann bin ich ja nicht mehr im Ideal.

Daraus schließe ich:
Entweder verstehe ich die Elemente im $\begin{eqnarray*} span\{2,x\} \end{eqnarray*}$ falsch, oder die Multiplikation ist hier nicht die Polynommultiplikation.
Wo ist der Fehler?

15.05.2011, 08:07

zweiundvierzig

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RE: Polynomring über die ganzen Zahlen - Ideal

Zitat:

Original von Zitrone21
klar, weil es zwei Elemente sind

Nein, das ist noch keine ausreichende Begründung. Was würde denn für einen Erzeuger $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (f) = (X,2) \end{eqnarray*}$ gelten?

Zitat:

Original von Zitrone21
Wenn 2 und X ein Ideal bilden, dann heißt das doch, das alles was ich an Linearkombinationen aus 2 und X bilden kann, ein Ideal ist?

Sprich $\begin{eqnarray*} span\{2,x\} = \{1,2,3, \cdots, x,2x,3x, \cdots \} \end{eqnarray*}$ jedoch ist $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nicht in dem Ideal, da ich ja nur den span nur mit skalaren Vielfachen erzeuge. (Ich denke diese Aussage stimmt nicht)

In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ist aber z.B. auch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich dieses Element nun mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multipliziere: $\begin{eqnarray*} x^2 * x = x^3 \end{eqnarray*}$ , dann bin ich ja nicht mehr im Ideal.

Von welchem Ideal sprichst Du denn hier? Wieder $\begin{eqnarray*} (X,2) \end{eqnarray*}$ ? Im übrigen liegen $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ und alle höheren Potenzen sehr wohl in $\begin{eqnarray*} (X,2) \end{eqnarray*}$ . Die Skalarmultiplikation bezieht sich auf Elemente aus dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ , denn dort betrachten wir ja unser Ideal. Entsprechend ist Deine letzte Feststellung falsch.

Nach meinen Erklärungen kannst Du Dir auch nochmal erneut überlegen, wie $\begin{eqnarray*} (X,2) \end{eqnarray*}$ wirklich aussieht. Genau aus welchen Polynomen bestehen denn erstmal die Ideale $\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X) \end{eqnarray*}$ ?

16.05.2011, 20:10

Zitrone21

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Hmm, also ich habe nun noch etwas drüber nachgedacht, aber muss echt passen.

Wie sehen denn nun die Erzeugnisse aus?
$\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ sind alle geraden Zahlen

$\begin{eqnarray*} (X) = ?? \end{eqnarray*}$
Vermutlich wohl $\begin{eqnarray*} x, x^2, x^3, \cdots \end{eqnarray*}$ aber auch linear Vielfache, sprich $\begin{eqnarray*} 5*x, 13*x^2, \cdots \end{eqnarray*}$ . Demnach alle Polynom vom Grad >= 1.
Dementsprechend liegt in $\begin{eqnarray*} (X) \end{eqnarray*}$ kein Polynom vom Grad 0, also keine konstanten Werte?

Wie sieht nun $\begin{eqnarray*} (2,x) \end{eqnarray*}$ aus?
Sind es: Alle Polynome vom Grad >= 1 und alle geraden Zahlen?
Oder: Alle Polynome vom Grad >= 1 mit geraden Koeffizienten und die geraden Zahlen
Oder was ganz anderes?

16.05.2011, 20:46

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Zitrone21
$\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ sind alle geraden Zahlen

Nein, es kommt noch wesentlich mehr dazu. Du must abgeschlossen sein gegenüber Skalarmultiplikation mit Elementen aus dem Ring, d.h. allen Polynomen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} (2) = 2 \cdot \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Zitrone21
$\begin{eqnarray*} (X) = ?? \end{eqnarray*}$
Vermutlich wohl $\begin{eqnarray*} x, x^2, x^3, \cdots \end{eqnarray*}$ aber auch linear Vielfache, sprich $\begin{eqnarray*} 5*x, 13*x^2, \cdots \end{eqnarray*}$ . Demnach alle Polynom vom Grad >= 1.
Dementsprechend liegt in $\begin{eqnarray*} (X) \end{eqnarray*}$ kein Polynom vom Grad 0, also keine konstanten Werte?

Du meinst eventuell das richtige, aber es ist falsch formuliert. Auch das Polynomen $\begin{eqnarray*} X + 1 \end{eqnarray*}$ hat Grad 1, liegt aber nicht in $\begin{eqnarray*} (X) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Zitrone21
Wie sieht nun $\begin{eqnarray*} (2,x) \end{eqnarray*}$ aus?

Wenn Du die obigen Ideale richtig ermittelt hast, überlegen wir uns, was passiert, wenn wir zwei typische Vertreter aus den Idealen addieren. Damit kommt man auf $\begin{eqnarray*} (X,2) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} (X,2) = (X) + (2) \end{eqnarray*}$ .

18.05.2011, 07:42

Zitrone21

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Sorry, das ich mich jetzt erst melde; hatte viel zu tun

Ich denke ich habe es nun verstanden:
$\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ enthält alle Polynome mit geraden Koeffizienten
$\begin{eqnarray*} (X) \end{eqnarray*}$ enthält alle Polynome, die kein konstantes Glied haben
$\begin{eqnarray*} (2,X) \end{eqnarray*}$ enthällt alle Polynome, bei denen das konstante Glied aus $\begin{eqnarray*} 2*\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist

Nun muss ich noch die Ideal Eigenschaften nachweisen. Das passt soweit

Ich danke dir für deine Hilfe =)

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