Erzeuger und Untergruppen von Z7* , Z8* , Z9* |
| 15.05.2011, 10:38 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Erzeuger und Untergruppen von Z7* , Z8* , Z9* Hi! müssen heut abend eine Übung abgeben, und bei ein paar sachen sind wir uns etwas unsicher: hier die Aufgaben: a.) welche Erzeuger hat Z7* ? b.) welche Erzeuger hat Z8* ? c.) welche Erzeuger hat Z9* ? d.) nennen sie die kleinste Untergruppe von Z8* , die 3 und 5 als Elemente hat. e.) nennen sie alle Untergruppen von Z8* f.) nennen Sie alle Untergruppen von Z8+ Meine Ideen: a.) hab alle Zahlen durchgetestet, aber habs nur mit der 3 hinbekommen, alle Elemente darzustellen.. mich verwirrt ein anderer thread, in dem stand, das 3 lediglich EIN Erzeuger ist. b.) Z*8 = { 1,3,5,7 } , 3^2 mod 8 = 1 , 5^mod8 = 1 , 7 mod^8 = 1 Ich würde sagen, dass jedes Element Erzeuger ist, da es keins gibt, dass alle erzeugt. c.) da hab ich nur 2 und 5 als Erzeuger ausgemacht: Z*9 = { 1, 2, 4, 5, 7, 8 } 2^1 = 2 mod 9 2^2 = 4 mod 9 2^3 = 8 mod 9 2^4 = 7 mod 9 2^5 = 5 mod 9 2^6 = 1 mod 9 5^1 = 5 mod 9 5^2 = 7 mod 9 5^3 = 8 mod 9 5^4 = 4 mod 9 5^5 = 2 mod 9 5^6 = 1 mod 9 gibt es noch mehr? e.) Untegruppen von z*8 sind nur die einzelnen Elemente oder? also G1 = { 3 } , G2 = { 5 } , G3 = { 7 } und die trivialen Untergruppen.. f.) Die einzige, die ich gefunden hab ist { 0,2,4,6 } |
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| 15.05.2011, 13:55 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
a) 3 und 5 sind Erzeuger von Z7* b) alle Elemente von Z8* habe die Ordnung 2, also gibt es keine Erzeuger c) stimmt, weitere Erzeuger gibt es nicht d) hast du vergessen e) ein Element ist keine Untergruppe ! f) es gibt 4 Untergruppen von Z8+ |
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| 15.05.2011, 19:41 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
da war ich mir ziemlich sicher.. die kleinste Untergruppe mit 3 und 5 ist {1,3,5,7} also Z*8 .. aber das kann man nicht als Untergruppe von Z*8 bezeichnen (?)
du meinst wegen dem neutralen Element? ok, dann: G1 = {1,3} G2 = {1,5} 2 = {1,7}
was alles ist eine Untergruppe? das einzige, was ich da noch gefunden hab ist: { 0,4 } sonst leider nichts |
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| 18.05.2011, 18:21 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
d) ist in Ordnung. e) {1}, {1,3},{1,5},{1,7},{1,3,5,7} sind die Untergruppen von (Z8,*), die Gruppe ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe V4. f) {0},{0,4},{0,2,4,6},{0,1,2,3,4,5,6,7} sind die Untergruppen der (Z8,+), die Gruppe ist zyklisch, erzeugt von 1 (oder 3 oder 5 oder 7), isomorph zur zyklischen Gruppe der Ordnung 8. |
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| 18.05.2011, 23:25 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Alles klar, vielen dank. |
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