Schiefer Wurf mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung

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Börn Auf diesen Beitrag antworten »
Schiefer Wurf mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung
Meine Frage:
Hallo,
in der Aufgabe soll man die DGL der Bahn eines Geschosses der Masse m herleiten, die unter dem Winkel gegenüber der Horizontalen mit der Geschwindigkeit abgeschossen wird. Es wird dabei eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfung angenommen.

Meine Ideen:
Also die Herleitung des schiefen Wurfes ohne die Dämpfung kriege ich wohl hin. Nur weiß ich nicht, wie ich da die Dämpfung mit reinbringe, bzw. an welcher Stelle.

Für die Herleitung des schiefen Wurfes teilt man zunächst die Bewegung in eine vertikale und in eine horizontale Bewegung auf und hat nach Umformen und Einsetzen dann 2 Gleichungen:

horizontal:

vertikal:

Wo muss ich hier die Dämpfung, die ich mal aus der Physik hergehend mit bezeichne, einbringen? Ic weiß ja das , folgt dann daraus, dass
und ich dies als Dämpfung dann einfach hinter beide Gleichungen schreiben kann (dazu addiert, da sowieso negativ ist)?
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schiefer Wurf mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung
Die vektorwertige Dgl. ist




Damit ist im Prinzip alles gesagt. Du musst nur noch auf die Koordinaten-Gln. übergehen und dich für 4 Anfangswerte entscheiden.
Börn Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Ansatz verwirrt mich jetzt ziemlich...
Als Anfangswerte habe ich ja
,
,
und...?

Und wo ist in deiner Gleichung die Dämpfung eingebunden?
Ich dachte eigentlich, dass die Herleitung, die ich unten angedeutet habe, leichter ist?!
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe die Koo.Gl. für y an:





Die beiden Gln. sind entkoppelt, so dass du sie unabhängig voneinander integrieren kannst. Dabei kommen dann die Anfangswerte in Spiel. In Wirklichkeit ist die Luftreibung nicht linear. ist der Dämpfungskoeffizient.
Börn Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dass sah für mich mit dem hinteren d nämlich so aus, als ob du dort noch einmal das Differential bilden wolltest...

Okay, ich muss dann ja 2 mal über dt integrieren, um auf der linken Seite y stehen zu haben, also erhalte ich:

Die Anfangsbedingungen sind:



Dadurch erhalte ich dann die Werte für die Integrationskonstanten und muss dies diese dann in die Gleichung einsetzen.









Als nächstes Umformen der Gleichungen nach y' und y und dann die Anfangsbedingungen einsetzen.

Stimmt das bis hierhin?
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anfangswerte sind i.O.. Aber die Dgln. verlangen ihre eigenen Lösungsmethoden. Du kannst es dir etwas übersichtlicher machen, wenn du die Dgln. 2. Ordnung jeweils durch 2 Dgln. 1. Ordnung ersetzt.

Dann steht da

.......................(1)

........................(2)

........ oder ........ .....................(3)

........ oder........ .....................(4)

Den Dämpfungskoeffizienten bezeichne ich jetzt, wie du anfangs, mit .

Rechts erkennst du wahrscheinlich die häufig anzutreffende Form einer lin. Dgl. 1. Ordn. mit konstanten Koeffizienten. In der Lösung kommt die Exponentialfunktion vor.

Die Dgln. für und sind voneinander unabhängig, so dass du sie auch unabhängig voneinander lösen und an die Anfangsbedingungen anpassen kannst. Als letztes kommen dann die beiden ersten (sehr einfachen) Dgln. dran.
 
 
Börn Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ich habe mich dann zuerst an die Gleichung für die Bewegung in x-Richtung gewagt, aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass das falsch ist...



Trennung der Variablen:



Integration auf beiden Seiten:



Auflösen nach :



Mit der Anfangsbedingung folgt für die Integrationskonstante:





Also lautet die Lösung:



Ich würde jetzt dann die Gleichung integrieren und dann die Anfangsbedingung y(0)=0 anwenden.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt so. Und anschaulich ist die Lösung auch, weil nach einigen Eigenzeitkonstanten das Projektil wegen senkrecht nach unten fällt. Die Geschwindigkeit , mit der das geschieht, kannst du übrigens direkt aus der 4. Dgl. ablesen. Sie ändert sich dann ja nicht mehr. Also kein "freier Fall"!

Edit
Nachtrag
Zitat:
Ich würde jetzt dann die Gleichung integrieren und dann die Anfangsbedingung y(0)=0 anwenden.


Anfangsbedingung x(0)=0, nicht y(0)=0!
Börn Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich weiß leider nicht, was du mit Eigenzeitkonstanten meinst, habe ich noch nie gehört smile

Ist es richtig, dass sich für die Bewegung in x-Richtung dann die Gleichung



ergibt?

Wenn ich da nämlich kein "mal t" einfüge, kommt es ja nicht hin mit der Bedingung x(0)=0, denn dann müsste



sein und eigentlich müsste diese Konstante ja wegfallen...
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Börn
Okay, ich weiß leider nicht, was du mit Eigenzeitkonstanten meinst, habe ich noch nie gehört smile


Ist hier nicht wichtig.

Zitat:
Original von Börn
Ist es richtig, dass sich für die Bewegung in x-Richtung dann die Gleichung



ergibt?


Die allgemeine Lösung für den hier vorliegenden Dgl.-Typ findest du in dieser Formelsammlung unter 9.1.1 und 9.1.2. Da geht es um elektrische Netzwerke, aber wenn du die Bezeichnungen umdeutest, gilt es auch hier.
Börn Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem y(0)=0 war natürlich ein Tippfehler, meinte selbstverständlich x(0)=0 ^^

Au Backe...da versteh ich die Lösung i-wie nicht.
Wenn ich probieren wollte, dass auf diesen Fall hier zu übertragen, würde ich sagen



Das q sehe ich in meinem Fall aber nicht und was bedeutet das in dem Integral mit t' ? Oo
Irgendwie scheint mir die Lösung sehr kompliziert für die Aufgabe...
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt nochmal der Reihe nach.
Aus dem von dir richtig errechneten kommst du durch gewöhnliche Integration der Gl. 1 von 4 zu



folgt daraus, indem du und setzt.



Die Formelsammlung hilft dir bei der Gl. 4 v. 4. In der Form

.......(*)

kannst du sie leicht mit 9.1.1 vergleichen. hast du richtig identifiziert. ist hier und steht für . Der Strich in 9.1.2 dient nur dazu, die Integrationsvariable von der oberen Grenze zu unterscheiden. Gl. 9.1.2 kannst du jetzt stur anwenden.

Leichter geht es eigentlich mit 9.1.3. Dazu hatte ich dir indirekt schon den Tipp gegeben, dass im Endzustand das Projektil mit konstanter Geschwindigkeit fällt. Der aus der Dgl. (*) abzulesende Wert



erfüllt also die Dgl. und ist damit partikuläre Lösung, wie sie in 9.1.3 gebraucht wird.
Börn Auf diesen Beitrag antworten »

Also folgt

Ich dachte aber dass sein müsste...

Naja, aber durch deine Erklärung, ist mir jetzt endlich klar, wie ich die Formelsammlung benutzen kann ^^
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schiefer Wurf mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung
@ Lampe16 kleine Zwischenfrage:

mit ( echtem ) Luftwiderstand gälte wohl:


das darf man aber nicht in Komponenten zerlegen (?)...
weil die DGL's von und nicht mehr unabhängig sind ?
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schiefer Wurf mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung
@Dopap
Fast richtig, aber der letzte Term ist kein Vektor. Das musst du formal korrigieren. Schau mal hier unter Golfball-Flugbahn nach.

Die Gln. sind dann gekoppelt und nichtlinear.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

@Björn
Zeichne dir eine Skizze der "gefühlten" Flugbahn. Dann kannst du die errechneten Funktionen mit dem Graphen vergleichen und grobe Fehler erkennen.
Börn Auf diesen Beitrag antworten »

Sprich das errechnete ist falsch?
Börn Auf diesen Beitrag antworten »

Und könnte ich Gleichung 4 von 4 nicht auch normal lösen, sprich erst die homogene Lösung und dann Variation der Konstanten?

Habe das zumindest mal so probiert, bekomme aber eine Lösung für y, die die Bedingung y(0)=0 nicht erfüllt...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@Lampe16: sehr gut Freude
Anscheinend hast du's in Physik "drauf".
Im
http://www.physikerboard.de/

könntest du sicher in Mechanik ( auch sonst ) helfen. Dort sind gute Leute rar Augenzwinkern
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, jetzt ist alles Nötige gesagt. Ich schreibe die Lösung der Dgln (1) bis (4) mit den Anfangswerten für bzw. zum Vergleichen auf:









mit



Zuerst habe ich die Dgln. 3 und 4 gelöst, dann die Lösungen in die Dgln. 1 und 2 eingesetzt und diese integriert. Das war insgesamt schon etwas mühsam. Vielleicht findet jemand noch einen Fehler?


Ergänzung per Edit
Formuliert man die Lösung mit der Eigenzeitkonstanten an Stelle des Eigenwerts , sehen die Gln. schlanker aus:







Börn Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Lösungen, die habe ich auch ausrechnen können smile

Allerdings habe ich Gleichung 4 über den "normalen" Weg gelöst, sprich: 1. homogene Lösung, 2. Variation der Konstanten und so weiter und so fort...ist dann zwar ein längerer Weg, aber man kommt auch zum Ziel und braucht nicht wieder einen "Trick" auf den ein armer Student in einer Klausur nicht kommen würde.

Aber man lernt ja immer gerne neue Dinge dazu, also noch einmal: Vielen Dank.

Im letzten Schritt muss dann ja noch für die Flugbahn des Geschosses eine Gleichung nach t aufgelöst werden und in die anderen eingesetzt werden (würde daher die Gleichung von x nach t auflösen und in y einsetzen), auch wenn das alles natürlich dann nur noch komplizierter aussieht Big Laugh
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