Gruppe, Konjugationsklasse, Zentrum

15.05.2011, 09:59	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe, Konjugationsklasse, Zentrum Ich soll zeigen: sei G eine Gruppe und Z ihr Zentrum. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \|G\|=\|Z\|+\sum \|C\| \end{eqnarray}$ , wobei über die Konjugationklassen C nur mit mehr als einem Element summiert wird. ( $\begin{eqnarray} Z:=\{z\in G\|zx=xz, \forall x \in G\} \end{eqnarray}$ ) Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|Z\|=\|A\|+\|B\|+...+\|K\| \end{eqnarray}$ , wobei A,B,...,K Konjugationsklassen mit einem Element sind. Die Konjugationsklasse ist ja definiert als: $\begin{eqnarray} K_x:=\{x'\in G\|x'=gxg^{-1}, g\in G\} \end{eqnarray}$ Ich hab' das schon versucht umzuschreiben als: $\begin{eqnarray} K_x=\{x'\in G\|x'g=gx, g\in G\} \end{eqnarray}$ , aber das bringt mich irgendwie auch nicht weiter... Wäre froh um Hilfe. Vielen Dank schon im Voraus!
15.05.2011, 10:27	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst Du die allgemeine Bahnengleichung? Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine endliche Menge, auf der eine Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ wirkt mit Repräsentantensystem $\begin{eqnarray} x_1, \ldots, x_n \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \|X\| = \sum_{i = 1}^n [G:G_{x_i}] \end{eqnarray}$ . Edit: Fehler im TeX-Code verbessert.
15.05.2011, 10:48	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Ja, die Bahnformel: $\begin{eqnarray} \|G\|=\|Stab\|\cdot \|B_x\| \end{eqnarray}$ kenne ich. Du sagst also: $\begin{eqnarray} \|Z\|=\|B_1\|+\|B_2\|+...+\|B_k\| \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} B_i=[G:G_{x_i}] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A, B, ..., K \end{eqnarray}$ haben ja alle die Ordnung 1. Aber wie weiss ich, wie viele Konjugationsklassen mit einem Element es gibt? Bzw. umgekehrt, wie weiss ich die Ordnung des Stabilisators?
15.05.2011, 11:03	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine nicht die Bahnformel, sondern die sogenannte Bahnengleichng in der Form, wie ich sie zitiert habe. Bitte definiere auch ordentlich, was Du mit den Bezeichnern genau meinst, wenn Du Formeln schreibst. Ein isoliertes $\begin{eqnarray} B_x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathrm{Stab} \end{eqnarray}$ ergeben wenig Sinn. Beschreibe doch mal in eigenen Worten, wie man die besagte Bahnengleichung auf unseren Fall anwenden könnte.
15.05.2011, 11:24	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, wenn ich so dumme Fragen stelle. Ich bin momentan gerade total verwirrt... Ok. Die Bahngleichung lautet ja: $\begin{eqnarray} \|Z\|=\|B_1\|+\|B_2\|+\|B_3\|+...+\|B_n\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|B_i\|=[G:G_{x_i}] \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} G_x \end{eqnarray}$ , der Stabilisator ist. mit $\begin{eqnarray} G_{x}:=\{g\in G\|gx=x g\} \end{eqnarray}$ Mit der Bahnengleichung könnte ich dann zeigen, dass die Ordnung des Zentrums der Summe der Konjugationsklassen mit einem Element enspricht. Die Konjugatonsklassen haben jeweils Ordnung 1. Die Ordnung des Zentrums kann man aber mit der Bahngleichung durch die Summe der Indizes der Stabilisatoren ausdrücken. Aber wir kennen ja nicht die Ordnung des Stabilisators in Abhängigkeit der Ordnung der Gruppe, wie können wir dann \|Z\| konkret berechnen?
15.05.2011, 21:55	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo steht, dass Du $\begin{eqnarray} \|Z(G)\| \end{eqnarray}$ konkret berechnen musst? Die zu zeigende Identität ist $\begin{eqnarray} \|G\| = \|Z(G)\| + \sum_{i = 1}^n \|G:G_{x_i} \end{eqnarray}$ , wobei die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ die Elemente aus dem gewählten Repräsentantensystem sind, deren Konjgationsklassen mehr als einelementig sind. Du hast ja auch schon richtig argumentiert, dass im Zentrum genau alle Elemente liegen, deren Bahn einelementig ist.
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