Untermodul

15.05.2011, 10:02	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Untermodul Hi Leute, ich habe ein Problem beim Zeigen des folgenden Sachverhalts. Sei $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ein Körper und $\begin{eqnarray} n\ge 2 \end{eqnarray}$ . Die Matrizenmultiplikation $\begin{eqnarray} M_n(k)\times k^n\to k^n \end{eqnarray}$ definiert auf $\begin{eqnarray} k^n \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} M_n(k) \end{eqnarray}$ -Modulstruktur und ist $\begin{eqnarray} U\subseteq k^n \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} M_n(k) \end{eqnarray}$ -Untermodul, so folgt $\begin{eqnarray} U=\{ 0 \} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} U=k^n \end{eqnarray}$ . Daß die Matrizenmultiplikation eine $\begin{eqnarray} M_n(k) \end{eqnarray}$ -Modulstruktur definiert, habe ich schon gezeigt - das war ja nun wirklich nicht so schwer. Wenn ich nun annehme, dass $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} M_n(k) \end{eqnarray}$ -Untermodul ist, wie folgt daraus, dass $\begin{eqnarray} U=\{ 0 \} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} U=k^n \end{eqnarray}$ ist? Anders formuliert.. Wie kann ich von den Untermodulkriterien darauf schließen? Hatte da noch keinen zündenden Gedanken. Danke für eure Hilfe! Ibn Batuta
15.05.2011, 10:15	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm an $\begin{eqnarray} U \neq 0 \end{eqnarray}$ und betrachte ein Element $\begin{eqnarray} v \in U\setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ . Wie kannst Du nun den ganzen Modul $\begin{eqnarray} k^n \end{eqnarray}$ bekommen?

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