Extremwertprobleme

10.12.2006, 13:40	Twister	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertprobleme Hallo ich habe folgende Aufgabe: Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen a und b ist vom Mittelpunkt der kleineren Seite aus eine Ecke unter einem Winkel von 45° abgesprungen. Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große neue Scheibe hergestellt werden. Ich habe mal eine Zeichnung gemacht, ich glaube die muss richtig sein. Aber ich brauche ja nun eine Hauptbedingung vermute mal A = x * y Und dann noch eine Nebenbedingung richtig? Muss ich da dann den Strahlensatz anwenden? Das zu dem wie das zu dem? Aber was soll ich da genau machen? wäre sehr dankbar für Lösungsvorschläge.. Zeichnung ist als Anhang dabei
10.12.2006, 14:15	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Theoretisch kann man das Ganze mit Strahlensätzen machen... Allerdings würde ich dann x den Zusatz zu (b-a/2) nennen und y den Zusatz zu a/2 - und nicht die ganze Länge (wenn du verstehst was ich meine) und dann arbeitest du mit den Verhältnissen von x und y zu a/2... Ich hätte allerdings noch einen anderen Vorschlag (der auf was ähnliches herausläuft): Lege ein kartesisches Koordinatensystem folgendermaßen in deine Zeichnung: Die x-Achse sei parallel zu x und verlaufe durch den untersten Punkt des ausgeschnittenen Dreiecks (auf Höhe b-a/2). Die y-Achse halbiere das große Rechteck (also durchschneidet sie den äußersten linken Punkt des Dreiecks). Was würde dann für die diagonale Schnittfläche gelten? (Funktion) Wie müsstest du dann die Fläche berechnen? (du hast vier Teile) Siehst du überhaupt, was ich meine? Gruß MI PS: Leider sehe ich im Augenblick auch keinen einfachereren Weg - wahrscheinlich seh ich aber den Wald vor lauter Bäumen nicht...
11.12.2006, 15:49	Twister	Auf diesen Beitrag antworten »
nee erkenne nicht wirklich was du meinst...
12.12.2006, 00:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe dazu mal Extremwertaufgabe mit Rechteck und abgebrochener Ecke mY+
12.12.2006, 03:09	Mathewolf (Gast)	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, deine Hauptbedingung $\begin{eqnarray} A=x\cdot y \end{eqnarray}$ ist korrekt. Nun mußt du nur noch die geeignete Nebenbedingung finden. Es gilt ja $\begin{eqnarray} x=b-x' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=a-y' \end{eqnarray}$ Weiterhin gilt $\begin{eqnarray} y'=\frac a2 -x' \end{eqnarray}$ Du erhältst also für die Fläche folgende Funktionsgleichung: $\begin{eqnarray} A(x') = (b-x')\left(\frac a2 + x'\right) \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} x+x'=b \end{eqnarray}$ , ergibt die Rücktransformation $\begin{eqnarray} A(x) = x\left(\frac a2 +b-x\right) = -x^2+x\left(\frac a2 +b\right) \end{eqnarray}$ Das Maximum zu bestimmen sollte jetzt kein Problem mehr darstellen
12.12.2006, 10:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie schon in der Aufgabe hinter dem Link ersichtlich, unterscheiden sich die Lösungsfälle in Abhängigkeit von den Abmessungen a, b des Rechteckes. Ein "echtes" (also relatives) Maximum gibt es nur, wenn $\begin{eqnarray} a \leq 2b \leq 3a \end{eqnarray}$ ist. Die Breite (b) kann somit zwischen der halben und dem anderthalbfachen der Länge (a) liegen. In allen anderen Fällen sind einzelne x' oder y' negativ bzw. x,y größer als b. Dabei kann es klarerweise nur Randextrema geben! mY+
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