Ableitung von Produkt aus x² und Exponetial-Funktion

15.05.2011, 13:04	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von Produkt aus x² und Exponetial-Funktion Hi, ich mache gerade die Abituraufgabe 2007-01 Analysis II Brandenburg; dort muss ich diese Funktion ableiten; $\begin{eqnarray} f_a (x)=x²\cdot e^{ax+a} \end{eqnarray}$ Ich verstehe folgenden Schritt nicht ganz; $\begin{eqnarray} f^\prime_a=2x\cdot e^{ax+a}+x²\cdot a\cdot e^{ax+a}=(ax²+2x)\cdot e^{ax+a} \end{eqnarray}$ Anwendung der Produkt-Regel ist klar, Das Ausklammern auch, allerdings die Ableitung von $\begin{eqnarray} e^{ax+a} \end{eqnarray}$ verstehe ich nicht, habe schon versucht, diese Funktion aufzutrennen $\begin{eqnarray} e^{ax}\cdot e^{a} \end{eqnarray}$ und dann mit der Produktregel abzuleiten, aber ich komm nicht hin. In den Lösungen der Aufgabe steht, dass man die Produkt- und Kettenregel verwenden muss, nur ich sehe bis jetzt nicht, wo ich die Kettenregel hier unterbringen kann. Wahrscheinlich aber für die zweite Ableitung, richtig? Könnt ihr mir helfen? lg, Christian
15.05.2011, 13:10	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Christian, nein, die Kettenregel brauchst du auch schon bei der ersten Ableitung. Denk dran: Das a ist eine Konstante, du leitest nach x ab. Wenn du magst, kannst du deine Umformung mit dem Produkt der zwei e-Terme nutzen, dann ist $\begin{eqnarray} e^a \end{eqnarray}$ auch konstant und bleibt nach Faktorregel einfach stehen.
15.05.2011, 16:03	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für den Tipp Also ich glaub ich habs... Kettenregel bezogen auf die e-Funktion habe ich im Netz gefunden: $\begin{eqnarray} f(x)=e^{u(x)} \Rightarrow f^\prime (x)=u^\prime(x)\cdot e^{u(x)} \end{eqnarray}$ Im Tafelwerk steht als Ableitung der e-Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=e^x\Rightarrow f^\prime=e^x \Rightarrow f^{\prime\prime}=e^x \end{eqnarray}$ d.h. die Ableitungen der e-Funktion sind konstant das ist dann bestimmt der Grund, dass in der Kettenregel die e-Funktion an sich immer unangetastet bzw. konstant bleibt, oder? dann hätte ich; $\begin{eqnarray} u(x)=ax+a<br /> u^\prime (x)=a<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^{u(x)} \end{eqnarray}$ bleibt so, dann folgt daraus $\begin{eqnarray} f^\prime(x)=a\cdot e^{ax+a} \end{eqnarray}$ Die Kettenregel lautet ja allgemein; $\begin{eqnarray} n\cdot [g(x)]^{n-1}\cdot g^\prime (x) \end{eqnarray}$ innere mal äußere Ableitung, bei der e-Funktion kann ich dies nicht richtig erkennen, das verwirrt mich ein wenig.
15.05.2011, 16:14	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! Die Kettenregel hast du in deinem Fall für eine äußere Potenzfunktion aufgeschrieben, allgemein lautet sie $\begin{eqnarray} (h(g(x)))'= h'(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray}$ . Du hast das für $\begin{eqnarray} h(x) = x^n \end{eqnarray}$ aufgeschrieben.

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