EW größte Zahl beim 6 aus 49

10.12.2006, 14:09

Toxman

EW größte Zahl beim 6 aus 49

Moin. Ich soll berechnen, wie groß denn die größte Zahl beim 6 aus 49 sein wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es k ist, habe ich zu $\begin{eqnarray*} P(k)=\frac{ \begin{pmatrix} k-1 \\ 5 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 49 \\ 6 \\ \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ bestimmt. Wobei k zwischen 6 und 49 liegen muss.
Wenn ich jetzt über alle Möglichen k summiere, um an den Erwargswert zu kommen, stoße ich auf: $\begin{eqnarray*} E=\sum_{k=6}^{49} \frac{(k-1)!*6*(49-6)!}{(k-6)!*49!}*k \end{eqnarray*}$
Also im Wesentlichen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=6}^{49} \frac{k!}{(k-6)!} \end{eqnarray*}$
Mit dem Rechner komme ich dann insgesamt auf E=42.8 was nicht ganz abwegig ist. (Edit: Als Simulationswert bekomme ich leider 47...)
Meine eigentlichen Fragen sind also, ob jemand Einwände gegen die Methode hat und wie man die Summe per Hand auswerten kann.

So. das war dann die dritte Aufgabe heute, vielleicht kommt Nr. 4 auch noch. Big Laugh

Bis dann

10.12.2006, 14:31

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Zunächst mal:

$\begin{eqnarray*} P(k) = \frac{\binom{k}{6}-\binom{k-1}{6}}{\binom{49}{6}} = \frac{\binom{k-1}{5}}{\binom{49}{6}}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

ist richtig. Zum Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E = \sum_{k=6}^{49} ~ P(k)\cdot k = \frac{6}{\binom{49}{6}} ~ \sum_{k=6}^{49} ~ \binom{k}{6} \end{eqnarray*}$

Gemäß Pascalschen Dreieck gilt ja $\begin{eqnarray*} \binom{k}{6} = \binom{k+1}{7}-\binom{k}{7} \end{eqnarray*}$ , es folgt für diese Teleskopsumme

$\begin{eqnarray*} E = \sum_{k=6}^{49} ~ P(k)\cdot k = \frac{6\cdot \binom{50}{7}}{\binom{49}{6}} = \frac{300}{7} \end{eqnarray*}$

10.12.2006, 19:42

Toxman

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Ok, das hat mir sehr weitergeholfen.

Vielen Dank Freude

10.12.2006, 19:54

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Bei der Simulation oben scheint aber was daneben gegangen zu sein, denn eine so deutliche Abweichung sollte es eigentlich nicht geben. Oder hast du nur sehr, sehr wenige Durchläufe gemacht?

10.12.2006, 20:22

Toxman

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Ich habe mir den Quellcode gerade noch mal angeschaut und gesehen, dass ich mehr Kugeln habe ziehen lassen. Die Einstellung hatte ich noch von einer Testversion drin, bei der ich sehen wollte, ob das ziehen funktioniert und habe es nicht wieder geändert. Bei Simulationen nehme ich meistens 10^6 durchläufe oder noch ein, zwei Potenzen mehr, das liefert dann meistens gute Ergebnisse.

10.12.2006, 20:24

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Zitat:

Original von Toxman
das liefert dann meistens gute Ergebnisse.

Halt im Genauigkeitsbereich $\begin{eqnarray*} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ , was man eben so erwarten kann. Augenzwinkern

10.12.2006, 20:30

Toxman

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Die Frage ist nur, ob der Computer da immer so genau ist, oder ob da nicht die Fehler durch die interen Darstellung der Zahlen größer sind. Bei dem Experiment hier werden die wohl kaum ins Gewicht fallen, da hier nur mit Integern gearbeitet werden und nur am Ende eine Division anfällt, aber sonst könnten die schon häßlich werden.
Aber eine gute Kontrollmöglichkeit ist Matlab schon, auch wenn man mal einen größeren Bruch umformt und da hin und wieder überprüfen will, ob man sich nicht gerade vertut.

Sehr nett von dir, mir hier bei den Aufgaben zu helfen, sonst wäre ich sicher nicht so weit gekommen.

Bis nächstes Wochenende dann smile

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