Anwendung des Borel-Cantelli Lemmas

15.05.2011, 11:31	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung des Borel-Cantelli Lemmas Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray}$ eine Folge von unabhängigen p-Bernoulli verteilten Zufallsvariablen mit Werten 1 und -1. Sei $\begin{eqnarray} z_0 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_n=\sum\limits_{i=1}^n y_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_n=\left\{ z_n=0\right\} \end{eqnarray}$ . Zu berechnen ist nun $\begin{eqnarray} P(limsupA_n) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Durch Anwendung des Borel-Cantelli Lemmas, reicht es einfach zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n) <\infty \,oder\, = \infty \end{eqnarray}$ daraus folgt dann auch schon das Ergebnis von $\begin{eqnarray} P(limsupA_n) \end{eqnarray}$ . Es ist also $\begin{eqnarray} P(y_i=1)=p, P(y_i=-1)=1-p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n) =P(A_1)+P(A_2)+... <br /> = P(\left\{ y_1=0\right\})+P(\left\{ y_1+y_2=0\right\})+P(\left\{ y_1+y_2+y_3=0\right\}) ... \end{eqnarray}$ Für i ungerade ist z_i ein unmögliches Ereignis, da y_i die Wete 1 und -1 annimmt. Nun ist mir aber unklar ob die Summe konvergiert oder divergiert?

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