ONB für Skalarprodukt

15.05.2011, 15:25

hurricane

ONB für Skalarprodukt

Meine Frage:

Hi @ all.

Nachdem ich gestern und heute schon intensiv auf der Suche war habe ich leider bisher noch nichts gefunden, dass mich wirklich ans Ziel bringt.

Also zunächst geht es um eine Uni-Aufgabe (2. Semester). Die vollständige Angabe lautet:
"Finde eine Orthonormalbasis für das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} (x|y)=4x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+3x_2y_2 \end{eqnarray*}$ ."

Meine Ideen:

Topics die mir bisher "geholfen" haben sind:
[1] ON Basis eines Skalarproduktes (kein Standard!!)
[2] Matrix eines Skalarproduktes

In dem Topic unter [1] kommt misskatha am Ende zu dem Schluss, dass man über die Matrix zu dem gegebenen Skalarprodukt Gleichungen für die verschiedenen Komponenten der gesuchten Basisvektoren aufstellen kann. Diese Idee habe ich auch afgegriffen und mit der "Formel" die Tobias in dem Topic [2] angegeben hat Gleichungen aufgestellt:

Also die Matrix A zum gegebenen Skalarprodukt für die gilt:

$\begin{eqnarray*} (x|y)_A=x^TAy=4x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+3x_2y_2 \end{eqnarray*}$

ist: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Über $\begin{eqnarray*} A_{i,j}=<b_i,b_j> \end{eqnarray*}$ (b...Spaltenvektoren der gesuchten Basis B={b1,b2}) komme ich dann auf die Gleichungen:

(1) $\begin{eqnarray*} <b_1,b_1>=4 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} <b_1,b_2>=2 \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} <b_2,b_1>=2 \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} <b_2,b_2>=3 \end{eqnarray*}$ .

Da ja das Skalarprodukt symmetrisch ist sind Gleichung (2) und (3) äquivalent und ich habe nun das Problem, dass ich 4 unbekannte in 3 Gleichungen habe und somit nicht mehr weiterkomme...

Also generell ist meine Frage, ob die Überlegungen korrekt bzw. zielführend sind. Und dann noch eine Unklarheit meinerseits: Liege ich richtig in der Annahme, dass bei den aufgestellten Gleichungen (1) bis (4) das Standardskalarprodukt des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ anzuwenden wäre oder müsste ich hier das gegebene Skalarprodukt anwenden??

Dann noch ein Verständixproblem: Ich muss hier ja annehmen (und so ist es ganz sicher auch gemeint), dass x und y Elemnte des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ sind, also das Skalarprodukt auch im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ definiert ist. Und wenn das so ist müsste doch die Standardbasis auch eine ONB des gegebenen Skalarprodukts sein.
Oder ist die Annahme, dass das Skalarprodukt im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ definiert ist keine allgemein gültige, wenn x und y Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ sind??

Vielen Dank an alle die sich die Mühe machen sich hiermit auseinanderzusetzen Augenzwinkern

16.05.2011, 23:21

jester.

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Die Matrix zu diesem Skalarprodukt erhältst du natürlich nur, wenn du auch dieses Skalarprodukt anwendest.

Der letzte Absatz ist ein bisschen schwer verständlich... Sicherlich sind x,y Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und das Skalarprodukt ist für jedes Paar solcher Elemente definiert.
Gesucht ist eine Orthonormalbasis des Raumes $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ bezüglich dieses Skalarproduktes (Skalarprodukte haben keine Basen, nur Räume haben Basen).

In dem ersten von dir verlinkten Topic steht doch schon eine ganz richtige Vorgehensweise: das Gram-Schmidt-Verfahren. Nimm also deine Lieblingsbasis und wende Gram-Schmidt darauf an.

Eine zweite Möglichkeit findest du in meiner Signatur unter "Bilinearformen diagonalisieren" - ein Skalarprodukt ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Dort wird dann direkt an der Matrix gearbeitet.

17.05.2011, 18:44

hurricane

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Danke für deine Antwort. In der Zwischenzeit hatte ich die Aufgabe bereits gelöst, aber gestern leider vergessen hier "Bescheid" zu sagen.

Deine Antwort deckt sich mit dem was ich gemacht hab. Einfach Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ nehmen und Gram-Schmidt anwenden. (Anm: Standardbasis bietet sich natürlich an, weil die Rechnerei damit einfach is, außerdem kann die durch das Skalarprodukt niemals linear abhängig sein.)
Der Gedankengang, der mir gefehlt hatte war jener, dass die Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ja auch eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ bezüglich dieses Skalarproduktes sein muss und ich nicht wusste woher ich überhaupt eine Basis nehmen sollte um Gram-Schmidt anzuwenden.

Ab und zu kommt es halt auf der Uni noch vor, dass man komplizierter denkt als erforderlich Augenzwinkern

17.05.2011, 19:48

jester.

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Zitat:

Original von hurricane
[...] (Anm: Standardbasis bietet sich natürlich an, weil die Rechnerei damit einfach is, außerdem kann die durch das Skalarprodukt niemals linear abhängig sein.)

Zitat:

Der Gedankengang, der mir gefehlt hatte war jener, dass die Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ja auch eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ bezüglich dieses Skalarproduktes sein muss

Diese zwei Aussagen machen so keinen Sinn, denn eine Basis ist immer eine Basis, egal ob es ein Skalarprodukt gibt (und wie aussieht) oder nicht. Nur Orthogonal- und Orthonormalbasen können erst mit Hilfe eines Skalarprodukts erklärt werden.

19.05.2011, 21:56

hurricane

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Aber wäre es nicht möglich, dass ich, wenn ich vom $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ mit Standardskalarprodukt rede zwei Vektoren habe, die linear unabhängig sind und somit eine Basis für diesen bilden. Und wenn ich dann aber dieselben Vektoren nehme und vom $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ bezüglich eines anderen Skalarprodukts rede könnte es mir passieren, dass die beiden Vektoren aufgrund des Skalarprodukts nicht mehr linear unabhängig sind. Oder ist das ein Ding der Unmöglichkeit??

19.05.2011, 21:59

jester.

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Das kann nicht passieren. Eine Basis ist, wie gesagt, immer eine Basis.

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