Normalteiler

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Leagil Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler
Meine Frage:
Sei (G,o) eine Gruppe, U eine Untergruppe und N ein Normalteiler von G.
Zeigen sie

U geschnitten mit N ist ein Normalteiler von U.



Meine Ideen:
So habe jetzt gesagt das

U geschnitten mit N = P

ist um das zu vereinfachen.

Da P nur aus Elementen besteht die auch Element von U sind ist P eine Teilmenge von U.
Nun zeige ich das P eine gruppe ist:
Assoziativität gegeben weil U schon assosiativ ist.
Da U und N ein neutrales Element e enthalten ist dieses auch im Schnitt der beiden enthalten und somit auch in P.
Da U und N zu jedem ihrere Elemente auch das inverse enthalten, da sie abgeschlossen sind bzgl. Mutliplikation und Addition, ist wenn x element von U und N im Schnitt liegt auch das Inverese zu x im Schnitt.

Daher hat P sowohl das neutrale elemente als auch zu jedem seiner Elemente das Inervse. Somit ist P eine Untergruppe von U.

Aber wie zeige ich nun das es auch ein normalteiler ist?!
Wir haben den Normalteiler so definiert das wenn Linksnebenklasse= Rechtsnebenklasse ist dann ist es ein normalteiler.

Wie zeige ich das nun?! Kann ich zeigen irgendwie das mein Schnitt also P abelsch ist und somit ein Normalteiler?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte so angesetzt.

Zu zeigen ist ja für . Das umgeschrieben: , denn sei , dann gilt doch , da abgeschlossen (Untergruppe) und , da Normalteiler.


Ibn Batuta
Leagil Auf diesen Beitrag antworten »

ALso erweiterst du mit u^-1?

Und dann steht auf beiden seiten das gleiche und das ist der beweis?!
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, was ist denn die Definition eines Normalteilers?


Ibn Batuta
Leagil Auf diesen Beitrag antworten »

Ja eben

g o U = U o g

ist.

in diesem fall :

u o (U geschnnitten mit N) = (U geschnitten mit N) o u


Eine andere definition hatten wir nicht.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Allerdings verstehe ich nun nicht, was du

Zitat:
Und dann steht auf beiden seiten das gleiche und das ist der beweis?!


damit meinst? Weiter oben steht der Beweis schon ziemlich ausführlich.


Ibn Batuta
 
 
Leagil Auf diesen Beitrag antworten »

Du erweiterst doch

u o (U geschnitten mit N) mit u^-1 oder?

Und erhälst dann (U geschnitten mit N) oder?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das erhalte ich nicht automatisch - zumindest ist es auf den ersten Blick nicht offensichtlich.



Das muß man aber erstmal begründen. Was gilt für ein ?


Ibn Batuta
Leagil Auf diesen Beitrag antworten »

Ja für v element (U geschnnitten mit N) gilt das

u o v = v o u

oder?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollst du ja zeigen...


Ibn Batuta
Leagil Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wie tue ich das?? Sorry versteh den Beweis oben nicht.. Auch nicht wie du auf u^-1 kommst...
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Du zeigst es, so wie ich dir das oben schon geschildert habe. Ich mache das nun zum letzten Mal.

Zu zeigen ist für .

Das forme ich nun um:



Nun picke ich mir ein Element in , meinetwegen , das ja offensichtlich in als auch in liegt. Dann gilt: .

Zu begründen ist:

Warum ist und warum ist ?


Ibn Batuta
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