Schnittwinkel von Vektoren(Geraden)

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15.05.2011, 18:52	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittwinkel von Vektoren(Geraden) Folgende Frage habe ich heute an euch: Der Schnittwinkel zweier Gerade ist definiert durch: $\begin{eqnarray} cos\alpha =\frac{RV_1RV_2} {\| RV_1 \| \| RV_2 \|} \end{eqnarray}$ So allerdings habe ich nun ein beliebiges Dreieck! Die Seitenlängen sind erstmal völlig egal, wenn ich nun allerdings einmal mit dem Kosinussatz rechne und dann einmal mit der oben angegebenen Formel. Kommen immer so 2° Abweichung bei raus. Meine Vermutung ist das ich die oben genannte Formel nur bei rechtwinkligen Dreiecken nutzen kann? Und wenn ja, wieso ist das so?
15.05.2011, 20:41	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittwinkel von Vektoren(Geraden) Deine Formel ist ja vom Skalarprodukt abgeleitet, es geht um zwei Vektoren, deren Betrag und um den eingeschlossenen Winkel. Beim Cosinussatz sind von einem Dreieck die drei Seiten und ein Winkel beteiligt. Ich sehe da keinen Zusammenhang. Bring am besten eines der Beispiele, die Du gerechnet hast.
15.05.2011, 20:50	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittwinkel von Vektoren(Geraden) der zusammenhang: $\begin{eqnarray} \|V_1V_2\| \end{eqnarray}$ ist (im 3eck) die dem winkel gegenüberliegende seite. wenn da was anderes herauskommt, handelt es sich um einen rechen/rundungsfehler
15.05.2011, 20:53	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meiner Meinung nach kann man den Kosinus doch nur im rechtwinkligen Dreieck anwenden. Das heißt das Skalarprodukt hat mindestens einmal in diesem Dreieck null zu sein. Wenn wir allerdings nun, ein beliebiges Dreieck erstellen. Haben wir ja keinen rechten Winkel in dem Dreieck, somit liefert der Kosinus doch falsche ergebnisse. Der Kosinussatz, ist ja genau für die beliebigen Dreiecke da, in denen man keinen rechten WInkel hat, also das Skalarprodukt auch nicht null ist. Oder?
15.05.2011, 22:09	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
da bringst du ziemlich viel durcheinander mit dem beispiel im bilderl skalarprodukt $\begin{eqnarray} cos\alpha=\frac{\overrightarrow{RV}_1\cdot\overrightarrow{RV}_2}{\|\overrightarrow{RV}_1\|\cdot\|\overrightarrow{RV}_2\|}=\frac{1}{\sqrt{26}}\to\alpha=78.6901 \end{eqnarray}$ mit dem cosinussatz: $\begin{eqnarray} cos\alpha=\frac{\overrightarrow{RV}_1^2+\overrightarrow{RV}_2^2-\overrightarrow{V_1V}_2^2}{2\cdot\| \overrightarrow{RV}_1\|\cdot\|\overrightarrow{RV}_2\|}=\frac{1}{\sqrt{26} }\quad{ }\text{mit}\quad{ }\|\overrightarrow{V_1V}_2\|=\sqrt{37} \end{eqnarray}$
16.05.2011, 22:33	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
@riwe, nur als Ergänzung zu meinem Beitrag oben; ich habe die Aufgabe etwas außer Acht gelassen im Vertrauen auf Deine Hilfestellung. Inzwischen ist mir der Zusammenhang auch klar, ich habe mit den allgemeinen Formeln für Cosinussatz und Skalarprodukt gerechnet. Man kann ja beim Cosinussatz umformen, dass im Nenner das Gleiche steht wie beim Skalarprodukt, nämlich das Produkt der beiden Seiten, die den Winkel einschließen. Ich setze ein Dreieck mit den Seiten a, b und c und Winkel $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ voraus, das mit seinem Punkt C im Ursprung liegt. Dann hat man: $\begin{eqnarray} \cos \gamma=\frac{(a^2+b^2-c^2):2}{a \cdot b} \quad \text{bzw.}\quad \cos \gamma=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|} \end{eqnarray}$ Also muss gelten: $\begin{eqnarray} (a^2+b^2-c^2):2=\vec{a}\cdot\vec{b} \end{eqnarray}$ Ich setze weiter voraus: $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}, \quad \vec{b}=\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Quadrate der Seiten sind ja den Quadraten der Vektorbeträge gleich; dann habe ich eigentlich: $\begin{eqnarray} x_a^2 + y_a^2 + z_a^2+x_b^2+y_b^2+z_b^2-[(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2]=2a_xb_x+2a_yb_y+2a_zb_z \end{eqnarray}$ Nach dem Ausmultiplizieren heben sich die Quadrate weg, und es ergibt sich eine wahre Aussage. Jetzt ist es klar.
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16.05.2011, 23:06	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
man kann es sich noch etwas einfacher machen. man betrachte den geschlossenen vektorzug: $\begin{eqnarray} \vec{a}-\vec{b}=\vec{c} \end{eqnarray}$ beide seiten quadrieren ergibt: $\begin{eqnarray} a^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+b^2=c^2 \end{eqnarray}$ anwendung des skalarproduktes liefert das gewünschte
17.05.2011, 14:41	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht natürlich auch, und was Kürze betrifft, werde ich ohnehin nicht das letzte Wort beanspruchen, solange Du mitpostest. Aber wieder einmal ist das ein Thread, wo ich mehr lerne als der Anfragende. Hoffentlich liest und lernt er wenigstens unsichtbarerweise mit.
17.05.2011, 19:35	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jetzt ist mir einiges klar geworden DAnke

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