Erwartungswert eines Schätzers

15.05.2011, 20:02

Airblader

Erwartungswert eines Schätzers

Hi,

bei folgender Aufgabe sehen leider weder ein Kommilitone noch ich den Fehler. Vielleicht kann uns ja jemand die Augen öffnen. Augenzwinkern

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} X_1, \ldots, X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, wobei jedes $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \theta \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ gleichverteilt auf $\begin{eqnarray*} [0,\theta] \end{eqnarray*}$ ist. Gegeben sei zudem der Schätzer $\begin{eqnarray*} T(X_1, \ldots, X_n) := c_n \max_i X_i \end{eqnarray*}$ .

Ich möchte die $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ nun so bestimmen, dass der Schätzer erwartungstreu/unverzerrt ist. Dafür muss ich $\begin{eqnarray*} \mathbb E \left(c_n\max_i X_i\right) \end{eqnarray*}$ berechnen, habe dafür aber zwei Wege und frage mich, welcher warum falsch ist.
Der Anfang ist bei beiden gleich, da ich die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F^* \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \max_i X_i \end{eqnarray*}$ bestimme:

Die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} F_1(x) = \frac{x}{\theta} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,\theta] \end{eqnarray*}$ (davor 0, danach 1 - wie immer eben). Dann ist auf diesem Intervall

$\begin{eqnarray*} F^*(x) = P\left(\max_i X_i \leq x\right) = P\left(\bigcap_i X_i \leq x\right) = \prod_i P(X_i \leq x) = \left(\frac{x}{\theta}\right)^n \end{eqnarray*}$

1. Weg:

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb E \left(c_n\max_i X_i\right) = c_n \mathbb E \max_i X_i \end{eqnarray*}$ und durch Ableiten von $\begin{eqnarray*} F^* \end{eqnarray*}$ erhält man die zu $\begin{eqnarray*} \max_i X_i \end{eqnarray*}$ zugehörige Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f^*(x) = \frac{nx^{n-1}}{\theta^n}1_{[0,\theta]} \end{eqnarray*}$ . Mit dem Transformationssatz ist dann

$\begin{eqnarray*} \mathbb E \left(c_n \max_i X_i\right) = c_n \cdot \mathbb E \max_i X_i = c_n \int_{\mathbb R} x \cdot f^*(x)~\dd x = \frac{c_nn}{\theta^n}\int_0^\theta x^n~\dd x \end{eqnarray*}$

2. Weg:

Wegen $\begin{eqnarray*} F(x) = P\left(c_n \max_i X_i \leq x\right) = F^*\left(\frac{x}{c_n}\right) \end{eqnarray*}$ und mit Ableiten erhält man dann die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{nx^{n-1}}{c_n^n\theta^n} 1_{[0,\theta]} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} c_n\max_i X_i \end{eqnarray*}$ und kann auch hier nun per Transformationssatz den Erwartungswert berechnen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E\left(c_n \max_i X_i\right) = \int_{\mathbb R} x \cdot f(x)~\dd x = \int_0^\theta \frac{n}{c_n^n\theta^n}x^n~\dd x = \frac{n}{c_n^n\theta^n} \int_0^\theta x^n~\dd x \end{eqnarray*}$

Das Problem, das ich nun habe, ist, dass sich beim zweiten Weg $\begin{eqnarray*} c_n^n \end{eqnarray*}$ einschleicht (und zwar im Nenner), beim ersten Weg aber nur $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ (und zwar im Zähler). Dies wird natürlich auch beeinflussen, was ich für die $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ herausbekomme, wenn ich $\begin{eqnarray*} \mathbb E\left(c_n \max_i X_i\right) \stackrel{\text{!}}{=} \theta \end{eqnarray*}$ für die Unverzerrtheit des Schätzers ansetze.
Allerdings sehe ich nicht, welcher der Wege falsch ist, da ich nicht sehe, was falsch ist.

Danke schonmal Wink

air

15.05.2011, 21:39

HAL 9000

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Ich denke, es liegt an der Stelle:

Zitat:

Original von Airblader
und mit Ableiten erhält man dann die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{nx^{n-1}}{c_n^n\theta^n} 1_{[0,\theta]} \end{eqnarray*}$

Da fehlt das Argument, ausführlich müsste da stehen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{nx^{n-1}}{c_n^n\theta^n} 1_{[0,\theta]}\left( \frac{x}{c_n} \right) \end{eqnarray*}$ ,

was man nun auch als

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{nx^{n-1}}{c_n^n\theta^n} 1_{[0,c_n\theta]}(x) \end{eqnarray*}$

schreiben könnte. Die Konsequenzen ziehen sich dann bis in diverse Integrale, wo statt $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} c_n\theta \end{eqnarray*}$ als obere Integrationsgrenze stehen müsste...

P.S.: Mir gefällt aber sowieso Weg 1 besser. Augenzwinkern

15.05.2011, 21:50

Airblader

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Der Teufel steckt im Detail. Eine kurze Kopfrechnung zeigt, dass es genau daran liegen wird.

Vielen Dank Freude

air

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